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千葉大学／2023年度

千葉大学 2023年 数学 第5問解答・解説

ベクトル

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1問題

千葉大学2023年度第5問

点 O を原点とする座標平面において，点 A と点 B が OA→\overrightarrow{OA}⋅\cdotOA→\overrightarrow{OA}=5，OB→\overrightarrow{OB}⋅\cdotOB→\overrightarrow{OB}=2，OA→\overrightarrow{OA}⋅\cdotOB→\overrightarrow{OB}=3 を満たすとする。

(1) OB→\overrightarrow{OB}=kOA→\overrightarrow{OA} となるような実数 k は存在しないことを示せ。

(2) 点 B から直線 OA に下ろした垂線と OA との交点を H とする。HB→\overrightarrow{HB} を OA→\overrightarrow{OA} と OB→\overrightarrow{OB} を用いて表せ。

(3) 実数 t に対し，直線 OA 上の点 P を OP→\overrightarrow{OP}=tOA→\overrightarrow{OA} となるようにとる。同様に直線 OB 上の点 Q を OQ→\overrightarrow{OQ}=(1-t)OB→\overrightarrow{OB} となるようにとる。点 P を通り直線 OA と直交する直線を ℓ1\ell_1 とし，点 Q を通り直線 OB と直交する直線を ℓ2\ell_2 とする。ℓ1\ell_1 と ℓ2\ell_2 の交点を R とするとき，OR→\overrightarrow{OR} を OA→\overrightarrow{OA}，OB→\overrightarrow{OB}，t を用いて表せ。

(4) 3点 O, A, B を通る円の中心を C とするとき，OC→\overrightarrow{OC} を OA→\overrightarrow{OA} と OB→\overrightarrow{OB} を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) そのような実数 k\quad k\quad は存在しない。(2) HB→=OB→−35OA→\displaystyle \quad \overrightarrow{HB}=\overrightarrow{OB}-\frac35\overrightarrow{OA}\quad . (3) OR→=(16t−6)OA→+(10−25t)OB→\quad \overrightarrow{OR}=(16t-6)\overrightarrow{OA}+(10-25t)\overrightarrow{OB}\quad . (4) OC→=2OA→−52OB→\displaystyle \quad \overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OA}-\frac52\overrightarrow{OB}\quad .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

a=OA→\boldsymbol a=\overrightarrow{OA}, b=OB→\boldsymbol b=\overrightarrow{OB} とおく。条件は a⋅a=5\boldsymbol a\cdot\boldsymbol a=5, b⋅b=2\boldsymbol b\cdot\boldsymbol b=2, a⋅b=3\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=3。

(1) b=ka\boldsymbol b=k\boldsymbol a と仮定すると k=3/5k=3/5 だが b⋅b=9/5≠2\boldsymbol b\cdot\boldsymbol b=9/5\ne2。

(2) OH→=sa\overrightarrow{OH}=s\boldsymbol a とすれば 3−5s=03-5s=0 より s=3/5s=3/5。したがって HB→=OB→−35OA→\displaystyle \overrightarrow{HB}=\overrightarrow{OB}-\frac35\overrightarrow{OA}。

(3) OR→=xa+yb\overrightarrow{OR}=x\boldsymbol a+y\boldsymbol b とおく。垂直条件は 5x+3y=5t5x+3y=5t, 3x+2y=2(1−t)3x+2y=2(1-t) となり、x=16t−6x=16t-6, y=10−25ty=10-25t。よって OR→=(16t−6)OA→+(10−25t)OB→\overrightarrow{OR}=(16t-6)\overrightarrow{OA}+(10-25t)\overrightarrow{OB}。

(4) OC→=ua+vb\overrightarrow{OC}=u\boldsymbol a+v\boldsymbol b とおくと等距離条件から 5u+3v=5/25u+3v=5/2, 3u+2v=13u+2v=1。よって (u,v)=(2,−5/2)(u,v)=(2,-5/2)。

内積で非平行性・垂直条件・等距離条件を表し、係数の一次連立方程式を解く。

この問題で使う考え方

  • 内積
  • 位置ベクトル
  • 垂直条件の内積表示
  • 連立一次方程式

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