千葉大学 2023年数学第9問解答・解説

微分法

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1問題

千葉大学2023年度第9問

関数 f(x) と実数 t に対し，x の関数 tx-f(x) の最大値があればそれを g(t) と書く。

(1) f(x)=x^4 のとき，任意の実数 t について g(t) が存在する。この g(t) を求めよ。以下，関数 f(x) は連続な導関数 f'(x) を持ち，次の2つの条件 (i), (ii) が成り立つものとする。

(i) f'(x) は増加関数，すなわち a<b ならば f'(a)<f'(b)。

(ii) $\displaystyle \lim\limits _{x\to-\infty}$ f'(x)=- $\infty$ かつ $\displaystyle \lim\limits _{x\to\infty}$ f'(x)= $\infty$ 。

(2) 任意の実数 t に対して，x の関数 tx-f(x) は最大値 g(t) を持つことを示せ。

(3) s を実数とする。t が実数全体を動くとき，t の関数 st-g(t) の最大値は f(s) となることを示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

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(1) $\displaystyle g(t)=\frac{3|t|^{4/3}}{4^{4/3}}$ 。 (2) 各tで最大値を取る。 (3) $\displaystyle \max\limits _{t\in\mathbb R}(st-g(t))=f(s)$ 、 $t=f^{\prime}(s)$ で達成。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $\Phi_t(x)=tx-x^4$ とおく。導関数 $t-4x^3$ は唯一の零点 $x_0=\sqrt[3]{t/4}$ を境に正から負へ変わるので、そこで最大となる。 $t=4x_0^3$ より $\displaystyle g(t)=tx_0-x_0^4=3x_0^4=\frac{3|t|^{4/3}}{4^{4/3}}.$ (2) 一般のfについて $\Phi_t(x)=tx-f(x)$ と置く。 $f'$ は連続で両端極限が−∞,+∞だから $f'(x_t)=t$ となる点がある。条件(i)より、 $x$ が大きいほど $f'(x)$ は必ず大きくなるため、この点は一意に定まり、 $\Phi_t'=t-f'$ は $x_t$ の左で正、右で負。よってこの点で最大値 $g(t)=tx_t-f(x_t)$ を取る。 (3) 最大値の定義から $g(t)\ge ts-f(s)$ 、従って $st-g(t)\le f(s)$ 。 $t=f'(s)$ と選ぶと一意性により $x_t=s$ なので等号成立する。

この問題で使う考え方

導関数の符号による最大値
中間値の定理
単調性による解の一意性
上界と等号条件

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