1神戸大学 2017年 数学 第1問解答・解説

(1) 微分すると $$f'(x)=\cos x-2nx+x^2/3,\qquad f''(x)=-\sin x-2n+2x/3.$$ $n\ge1,0<x<\pi/2<2,\sin x>0$ より $f''(x)<-2+4/3=-2/3<0$。 (2) $f(0)=0,f'(0)=1$ なので、十分小さい $\delta>0$ では $f(\delta)>0$。一方、$3<\pi<4$ より $$f(\pi/2)=1-n\pi^2/4+\pi^3/72<1-9/4+8/9=-13/36<0.$$ 中間値の定理により $0<x<\pi/2$ に零点がある。 二つの零点 $0<a<b<\pi/2$ があると仮定する。$f'$ はxが大きくなると値は必ず小さくなるので、もし $f'(a)\ge0$ なら $0<x<a$ で $f'>0$、従って $f(a)>f(0)=0$ となり矛盾。よって $f'(a)<0$。すると $a<x<b$ で $f'<0$ となり $f(b)<f(a)=0$ でまた矛盾する。従って零点はただ一つである。 (3) その零点を $x_n$ とする。$0<x<\pi/2$ では $x-\sin x$ の導関数が $1-\cos x>0$ だから $\sin x<x$。零点の式を $x_n>0$ で割ると $$\displaystyle nx_n=\frac{\sin x_n}{x_n}+\frac{x_n^2}{9}<1+4/9=13/9.$$ 従って $0<x_n<13/(9n)$ より $\boxed{x_n\to0}$。さらに $\sin x-x\cos x$ の導関数は $x\sin x>0$ だから $$\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1\quad(0<x<\pi/2).$$ この評価と先の式より $\boxed{nx_n\to1}$。