4神戸大学 2020年 数学 第4問解答・解説

$n\ge1$ とし，$a=2n\pi$，$t=x-a$ とおくと，$0\le t\le\pi$ で $$\displaystyle f(x)=\frac{\sin t}{a+t}=:g(t).$$ 微分すると $$\displaystyle g'(t)=\frac{(a+t)\cos t-\sin t}{(a+t)^2} =\frac{H(t)}{(a+t)^2}, \qquad H(t)=(a+t)\cos t-\sin t.$$ $0<t<\pi$ では $$H'(t)=-(a+t)\sin t<0.$$ また $H(0)=a>0$，$H(\pi)=-(a+\pi)<0$ なので，中間値の定理と、$H$ が異なる $t$ に対して同じ値をとらずに減少することから $H(t)=0$ を満たす $t_n$ は $0<t_n<\pi$ の範囲にただ一つ存在する。したがって $g'$ は $t_n$ の前で正，後で負となり，$f$ が最大となる点は $x_n=a+t_n$ ただ一つである。 さらに $H(\pi/2)=-1<0$ より $0<t_n<\pi/2$。方程式 $H(t_n)=0$ から $$\tan t_n=a+t_n.$$ よって $\tan x_n=\tan(2n\pi+t_n)=2n\pi+t_n$ であり， $$\displaystyle \frac{n}{2n\pi+\pi/2} <\frac{n}{\tan x_n} <\frac{n}{2n\pi}.$$ 両端は $n\to\infty$ でともに $1/(2\pi)$ に収束するので，はさみうちの原理から $$\displaystyle \boxed{\displaystyle\lim\limits _{n\to\infty}\frac{n}{\tan x_n}=\frac{1}{2\pi}}.$$ なお，日本の高校問題で通常の「自然数」$n\ge1$ とする読み方での解答である。0を含める規約なら $n=0$ の区間に $x=0$ が入り，$\sin x/x$ がそこで未定義となる。