3神戸大学 2020年 数学 第3問解答・解説

(1) 30個の1を一列に並べると、隣り合う1の間には29か所の隙間がある。そのうち1か所で区切ると、左側と右側の1の個数が順に2つの自然数を表す。逆に、和が30になる2つの自然数の順列から区切り位置が一つ決まるので、求める総数は $$\displaystyle \binom{29}{1}=29$$ である。

(2) 同様に、29か所の隙間から2か所を選んで区切ると、3つの自然数が順に定まる。よって総数は $$\displaystyle \binom{29}{2}=\frac{29\cdot28}{2}=406$$ である。

(3) 異なる自然数という指定はないので、同じ数を含む場合も数える。順序を無視して、3つの数を $a\le b\le c$ とおくと、$a+b+c=30$ である。最小の数 $a$ は $1\le a\le10$。$a$ を固定すると、$b$ は $$\displaystyle a\le b\le\left\lfloor\frac{30-a}{2}\right\rfloor$$ を満たし、$c=30-a-b$ と一意に定まる。したがって、各 $a$ に対する個数は順に $$14,\ 13,\ 11,\ 10,\ 8,\ 7,\ 5,\ 4,\ 2,\ 1$$ であり、その和は $$14+13+11+10+8+7+5+4+2+1=75$$ である。