1神戸大学 2020年 数学 第1問解答・解説

（1）$f(\alpha)=0$ より，因数定理を用いて $f(x)=(x-\alpha)g(x)$ とおける。ここで $g(x)$ は2次式である。これを微分すると $f'(x)=g(x)+(x-\alpha)g'(x)$ だから，$x=\alpha$ を代入して $f'(\alpha)=g(\alpha)=0$ を得る。再び因数定理より $g(x)=(x-\alpha)h(x)$ とおける。よって $f(x)=(x-\alpha)^2h(x)$ となり，$(x-\alpha)^2$ で割り切れる。

（2）（1）より $f(x)=(x-\alpha)^2g(x)$ とおける。$f$ は最高次係数が1の3次式なので，$g$ は最高次係数が1の1次式である。$f(\alpha+2)=0$ を代入すると $4g(\alpha+2)=0$，したがって $g(\alpha+2)=0$ であり，$g(x)=x-\alpha-2$ である。よって $f(x)=(x-\alpha)^2(x-\alpha-2)$。$t=x-\alpha$ とおけば $f(x)=t^2(t-2)$ だから，$f'(x)=3t^2-4t=t(3t-4)$。$f'(x)=0$ の解は $x=\alpha$ または $\displaystyle x=\alpha+\frac{4}{3}$ であり，$x\ne\alpha$ より $\displaystyle x=\alpha+\frac{4}{3}$。

（3）$\alpha=0$ のとき $f(x)=x^2(x-2)$，$f'(x)=x(3x-4)$ である。$y$ の範囲が存在するには $f(x)\leq0$ かつ $f'(x)\leq0$ が必要十分である。前者は $x\leq2$，後者は $\displaystyle 0\leq x\leq\frac{4}{3}$ のとき成り立つので，対象となる $x$ の範囲は $\displaystyle 0\leq x\leq\frac{4}{3}$。この範囲で $f(x)-f'(x)=x(x-1)(x-4)$ だから，$0\leq x\leq1$ では $f(x)\geq f'(x)$，$\displaystyle 1\leq x\leq\frac{4}{3}$ では $f(x)\leq f'(x)$ である。したがって下端は前半で $y=f(x)$，後半で $y=f'(x)$ となる。求める面積は $\displaystyle\int_0^1 -f(x)\,dx+\int_1^{4/3}-f'(x)\,dx=\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{2x^3}{3}\right]_0^1+\left[-x^3+2x^2\right]_1^{4/3}=\frac{5}{12}+\frac{5}{27}=\frac{65}{108}$。