3大分大学 2020年 数学 第3問解答・解説

(1) 座標が $(3,2)$ となるには，5回すべてで移動し，$x$ 方向の移動が3回，$y$ 方向の移動が2回であればよい。1回の試行で $x$ 方向に進む確率は $3/6=1/2$，$y$ 方向に進む確率は $2/6=1/3$ である。したがって $$\displaystyle \binom{5}{3}\left(\frac12\right)^3\left(\frac13\right)^2=10\cdot\frac1{72}=\boxed{\frac5{36}}.$$

(2) 座標が $(2,2)$ となるには，$x$ 方向の移動が2回，$y$ 方向の移動が2回で，残り1回は停止である。この5回の並べ方は $5!/(2!2!1!)=30$ 通りであり，1つの並びの確率は $(1/2)^2(1/3)^2(1/6)$ である。よって $$\displaystyle \frac{5!}{2!2!1!}\left(\frac12\right)^2\left(\frac13\right)^2\frac16=\frac{30}{216}=\boxed{\frac5{36}}.$$

(3) $0\le m\le k-1$ を固定する。座標が $(m,k-m-1)$ となるには，$x$ 方向の移動が $m$ 回，$y$ 方向の移動が $k-m-1$ 回で，停止がちょうど1回必要である。したがって $$\displaystyle p_k(m,k-m-1)=\frac{k!}{m!(k-m-1)!}\left(\frac12\right)^m\left(\frac13\right)^{k-m-1}\frac16.$$ これを $m=0,1,\ldots,k-1$ について足し，二項定理を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{m=0}^{k-1}p_k(m,k-m-1) &=\frac{k}{6}\sum\limits _{m=0}^{k-1}\binom{k-1}{m}\left(\frac12\right)^m\left(\frac13\right)^{k-1-m}\\ &=\frac{k}{6}\left(\frac12+\frac13\right)^{k-1} =\boxed{\frac{k}{6}\left(\frac56\right)^{k-1}}. \end{aligned}$$ $k=1$ のとき右辺は $1/6$ となり，1回の試行で停止する確率と一致する。