1大分大学 2020年 数学 第1問解答・解説

(1) $n\ge4$ の場合、積の微分を4回適用すると $$(fg)^{(4)}=f^{(4)}g+4f^{(3)}g'+6f''g''+4f'g^{(3)}+fg^{(4)}.$$ (2) 一般式は $$\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum\limits _{r=0}^{n}\binom nr f^{(n-r)}g^{(r)}.$$ $n=1$ では積の微分法則に一致する。$n$ 次で成立すると仮定して両辺を微分し、隣接項をまとめると $$\displaystyle \binom nr+\binom n{r-1}=\binom{n+1}r$$ だから $n+1$ 次でも成立する。帰納法により証明された。 (3) $n\ge4$ に対し、Leibniz の公式で $x^3$ の0〜3階導関数を用いると $$h^{(n)}(x)=e^x\left(x^3+3nx^2+3n(n-1)x+n(n-1)(n-2)\right).$$ ただし原文の共通仮定は $n\ge1$ のみなので、(1)では $n\ge4$ を追加しないと4階導関数の存在が保証されない。

(1) $n\ge4$なら積の微分を4回適用すると係数はパスカル型に並び、$f^{(4)}g+4f^{(3)}g^{\prime}+6f^{\prime\prime} g^{\prime\prime}+4f^{\prime} g^{(3)}+fg^{(4)}$となる。しかし原文はnを任意の正整数としてf,gがn回微分可能とするだけなので、$n=1,2,3$では4階導関数の存在が保証されない。(2) n=1で積の微分法則が成立する。nで成立すると仮定して微分し、隣接項をまとめると係数は $\displaystyle \binom nr+\binom n{r-1}=\binom{n+1}r$ になるので、帰納法で一般式が成立する。(3) Leibniz式で $h=x^3e^x$ とし、$x^3$の0〜3階導関数だけが非零であることから $e^x\left(x^3+3nx^2+3n(n-1)x+n(n-1)(n-2)\right)$ を得る。