琉球大学 2020年数学第3問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

琉球大学2020年度第3問

$i$ を虚数単位とし，複素数 $a_{n}$ を $\displaystyle a_{1}=-1,\qquad a_{n+1}=\frac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}a_{n}+\sqrt{3}\,i\quad(n=1,2,3,\ldots)$ によって定める。また，複素数 $b_{n}$ を $b_{1}=1,\qquad b_{n+1}=a_{n}b_{n}\quad(n=1,2,3,\ldots)$ によって定める。このとき，次の問いに答えよ。（50点）

問1 $a_{2},a_{3},a_{4}$ を求めよ。

問2 すべての正の整数 $n$ について $a_{n+3}=a_{n}$ が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ。

問3 $b_{n}$ を求めよ。

（解答は次のページの解答欄に記入すること。）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

問1： $\quad a_2=(1+\sqrt3i)/2\quad$ 、 $\quad a_3=-1+\sqrt3i\quad$ 、 $\quad a_4=-1\quad$ 。問2：すべての正整数 $\quad n\quad$ について $\quad a_{n+3}=a_n\quad$ 。問3： $\quad b_{3k+1}=2^k\quad$ 、 $\quad b_{3k+2}=-2^k\quad$ 、 $\quad b_{3k+3}=-2^k(1+\sqrt3i)/2\quad$ （ $\quad k=0,1,2,\ldots\quad$ ）。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned}c&=\frac{-1+\sqrt3i}{2},\quad a_1=-1.\\\text{問1}\quad a_2&=ca_1+\sqrt3i=\frac{1+\sqrt3i}{2},\\a_3&=ca_2+\sqrt3i=-1+\sqrt3i,\\a_4&=ca_3+\sqrt3i=-1=a_1.\\[2pt]\text{問2}\quad P(n)&:a_{n+3}=a_n.\quad a_4=a_1\text{ より }P(1)\text{ は成り立つ。}\\P(n)&\quad\text{を仮定すると}\quad a_{n+4}=ca_{n+3}+\sqrt3i=ca_n+\sqrt3i=a_{n+1},\\&\text{したがって} a_{n+3}=a_n\quad(n\ge1).\\[2pt]\text{問3}\quad b_n&=\prod\limits _{j=1}^{n-1}a_j,\quad a_1a_2a_3=2,\\b_{3k+1}&=2^k,\quad b_{3k+2}=-2^k,\\b_{3k+3}&=-2^k\frac{1+\sqrt3i}{2}\quad(k=0,1,2,\ldots).\end{aligned}$

問1は漸化式へ順次代入する。問2は、 $a_4=a_1$ を基底とし、周期性を仮定したとき同じ更新式を適用して次の項でも周期性が続くことを示す。問3では $b_n$ を先行する $a_j$ の積と見て、周期3の積 $a_1a_2a_3=2$ と、余りに応じた残りの積に分ける。

この問題で使う考え方

複素数の漸化式
数学的帰納法
周期積の分解

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。