1琉球大学 2020年 数学 第1問解答・解説

問1　 曲線を表す関数を $f(x)=x^3+x-1$ とすると、$f'(x)=3x^2+1$ である。したがって、$x=t$ における接線は$$y-(t^3+t-1)=(3t^2+1)(x-t)$$であり、整理して$$y=(3t^2+1)x-2t^3-1$$を得る。

問2　 問1の接線が $(0,1)$ を通るから、$x=0, y=1$ を代入して$$1=-2t^3-1,\qquad t^3=-1$$となる。実数 $t$ は $t=-1$ である。このとき接点は$$(-1, f(-1))=(-1,-3)$$であり、接線の傾きは $f'(-1)=4$ だから、$$\ell:y+3=4(x+1),\qquad y=4x+1$$である。

問3　 直線と曲線の差は$$(4x+1)-(x^3+x-1)=-x^3+3x+2=(x+1)^2(2-x)$$である。交点の (x) 座標は $x=-1,2$ であり、$-1\le x\le2$ ではこの差は非負である。よって、囲まれる部分の面積は$$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_{-1}^{2}(x+1)^2(2-x)\,dx\\&=\left[-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}+2x\right]_{-1}^{2}\\&=6-\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{27}{4}.\end{aligned}$$