2琉球大学 2020年 数学 第2問解答・解説

共有点の座標を $(x,y)$ とすると、$x>0$ かつ $\log x=\sqrt{ax}$ である。右辺は正なので $\log x>0$、したがって $x>1$ である。この範囲では両辺を平方しても同値であり、$$\displaystyle a=\frac{(\log x)^2}{x}=:f(x)$$ を得る。

$x>1$ で微分すると、$$\displaystyle f'(x)=\frac{2\log x}{x^2}-\frac{(\log x)^2}{x^2}=\frac{\log x(2-\log x)}{x^2}.$$ よって $1<x<e^2$ では $f'(x)>0$、$x>e^2$ では $f'(x)<0$ であるから、$f$ は $x=e^2$ で最大値 $f(e^2)=4/e^2$ をとる。また $f$ は $1\le x\le e^2$ で連続で、$f(1)=0$ と $f(e^2)=4/e^2$ だから、$x>1$ における値域は $0<a\le 4/e^2$ である。したがって共有点をもつのは $0<a\le 4/e^2$ のときであり、共有点をもたないための範囲は $$\displaystyle a>\frac{4}{e^2}$$ である。なお $a=4/e^2$ のときは $x=e^2$ で両曲線の値がともに $2$ となり、共有点があることも確認できる。