5東京大学 2019年 数学 第5問解答・解説

(1) 方程式を満たす $x$ は $|x|^{2n-1}=|\cos x|\le1$ から $|x|\le1$。この区間で $\cos x\ge\cos1>0$ なので、解は $x>0$。したがって解は $0<x<1$ に限られる。$F(x)=x^{2n-1}-\cos x$ は $0\le x\le1$ で、$x$ が大きくなると必ず大きくなり、$F(0)=-1<0$、$F(1)=1-\cos1>0$。中間値の定理と単調性から解 $a_n$ はただ一つで、$0<a_n<1$。

(2) $\cos x$ は $0\le x\le1$ で、$x$ が大きくなると必ず小さくなるので、$0<a_n<1$ から $\cos a_n>\cos1$。

(3) 方程式から $$(\cos1)^{1/(2n-1)}<a_n<1,$$ となるため、はさみうちで $\displaystyle a=\lim a_n=1$。また $$(a_n^n)^2=a_n^{2n}=a_n\,a_n^{2n-1}=a_n\cos a_n$$ であり、$a_n>0$ だから $a_n^n=\sqrt{a_n\cos a_n}$。よって $b=\sqrt{\cos1}$。

$H(x)=\sqrt{x\cos x}$ とおくと、$a_n^n=H(a_n)$、$H(1)=b$ なので、微分係数の定義により $$\displaystyle c=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{H(a_n)-H(1)}{a_n-1}=H'(1).$$ 微分すると $\displaystyle H'(x)=\dfrac{\cos x-x\sin x}{2\sqrt{x\cos x}}$。したがって $$\displaystyle c=\frac{\cos1-\sin1}{2\sqrt{\cos1}}=\frac{\sqrt{\cos1}}{2}(1-\tan1).$$

答え

$\displaystyle a=1,\quad b=\sqrt{\cos1},\quad c=\dfrac{\cos1-\sin1}{2\sqrt{\cos1}}=\dfrac{\sqrt{\cos1}}2(1-\tan1)$.