4東京大学 2019年 数学 第4問解答・解説

$A=n^2+1$, $B=5n^2+9$ とおく。すると $$B-5A=4, \qquad d_n=\gcd(A,B)=\gcd(A,4).$$

(1) $n$ が偶数なら $n^2$ は偶数なので $A=n^2+1$ は奇数であり、$d_n=1$。$n$ が奇数なら $n^2\equiv1\pmod4$ だから $A\equiv2\pmod4$ となり、$d_n=2$。従って $$\boxed{d_n=\begin{cases}1&(n\text{ が偶数}),\\2&(n\text{ が奇数}).\end{cases}}$$

(2) $n$ が偶数の場合、(1)より $A$ と $B$ は互いに素である。もし $AB$ が整数の平方なら、互いに素な二数の積が平方であることから $A$ 自身も平方である。しかし $$n^2<n^2+1<(n+1)^2$$ （最後の不等式は $(n+1)^2-(n^2+1)=2n>0$）なので、$A$ は平方ではない。従って $AB$ も平方ではない。

$n$ が奇数の場合、奇数の平方を $16$ で割った余りは $1$ または $9$ である。よって $$\begin{array}{c|c|c|c} n^2\pmod{16}&A\pmod{16}&B\pmod{16}&AB\pmod{16}\\\hline 1&2&14&12\\ 9&10&6&12 \end{array}$$ となる。一方、整数の平方を $16$ で割った余りは $0,1,4,9$ のいずれかであり、$12$ にはならない。従ってこの場合も $AB$ は平方ではない。以上より、すべての正整数 $n$ について $$\boxed{(n^2+1)(5n^2+9)\text{ は整数の平方にならない。}}$$

(1) は差を取り gcd を4の約数に帰着させる。(2) は n の偶奇で場合分けする。偶数では互いに素な因数と隣接平方の間隔を使い、奇数では積の16を法とする余りを調べて平方剰余から除外する。