1東京大学 2019年 数学 第1問解答・解説

被積分関数を展開すると $$\displaystyle \left(x^2+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) \left(1+\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}\right) =x^2+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} +\frac{x^3}{(1+x^2)^{3/2}}+\frac{x^2}{(1+x^2)^2}.$$ したがって積分を各項に分ける。 $$\displaystyle \int_0^1x^2\,dx=\frac13,\qquad \int_0^1\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx=\sqrt2-1.$$ 第3項は $u=1+x^2$ と置くと $$\displaystyle \int_0^1\frac{x^3}{(1+x^2)^{3/2}}\,dx =\frac12\int_1^2\frac{u-1}{u^{3/2}}\,du =\left[\sqrt{u}+\frac1{\sqrt{u}}\right]_1^2 =\frac3{\sqrt2}-2.$$ 第4項は $x=\tan\theta$（$0\le\theta\le\pi/4$）と置けば $$\displaystyle \int_0^1\frac{x^2}{(1+x^2)^2}\,dx =\int_0^{\pi/4}\sin^2\theta\,d\theta =\left[\frac{\theta}{2}-\frac{\sin2\theta}{4}\right]_0^{\pi/4} =\frac{\pi}{8}-\frac14.$$ 以上を加えると $$\displaystyle \frac13+(\sqrt2-1)+\left(\frac3{\sqrt2}-2\right) +\left(\frac{\pi}{8}-\frac14\right) =\frac{5\sqrt2}{2}+\frac{\pi}{8}-\frac{35}{12}.$$

積を展開して4項に分け、根号を含む項には$u=1+x^2$、有理関数の項には$x=\tan\theta$を用いる。それぞれの積分区間と原始関数を確認し、最後に足し合わせる。