2東京大学 2019年 数学 第2問解答・解説

$x=AP,y=AQ,z=DR$ と置く。直角三角形APQの面積より $xy/2=1/3$、すなわち $xy=2/3$。$0<x,y\le1$ より $2/3\le x\le1$、$y=2/(3x)$。正方形を三角形APQ,PQR,PBR,BCR,QDRに分けて面積を足すと $$\displaystyle 1=\frac13+\frac13+\frac{1-x}{2}+\frac{1-z}{2}+\frac{z(1-y)}2,$$ 従って $x+yz=4/3$ で $z=x(4-3x)/2$。この区間では $1/2\le z\le2/3$ なのでRも辺CD上にある。 $$\displaystyle F(x)=\frac{DR}{AQ}=\frac zy=\frac{3x^2(4-3x)}4,\qquad F'(x)=\frac{3x}{4}(8-9x).$$ 従って最大は$\displaystyle x=\frac89$で$\displaystyle \frac{64}{81}$、最小は端点比較で$\displaystyle x=\frac23$の$\displaystyle \frac23$。