11千葉大学 2019年 数学 第11問解答・解説

(1) $0\le\theta\le\pi/3$ では $\tan\theta$ は定義され、 $$\displaystyle \frac{d}{d\theta}\tan^{n+1}\theta=(n+1)\tan^n\theta\sec^2\theta =(n+1)(\tan^n\theta+\tan^{n+2}\theta),$$ ここで $\sec^2\theta=1+\tan^2\theta$ を用いた。したがって $$\displaystyle \int_0^{\pi/3}\tan^n\theta\,d\theta+\int_0^{\pi/3}\tan^{n+2}\theta\,d\theta =\frac{[\tan^{n+1}\theta]_0^{\pi/3}}{n+1} =\frac{3^{(n+1)/2}}{n+1}.$$

(2) $t=\tan\theta$ とおくと $d\theta=dt/(1+t^2)$、積分区間は $0\le t\le\sqrt3$。よって $$\displaystyle \int_0^{\pi/3}\tan^7\theta\,d\theta =\int_0^{\sqrt3}\frac{t^7}{1+t^2}\,dt =\int_0^{\sqrt3}\left(t^5-t^3+t-\frac{t}{1+t^2}\right)dt.$$ 従って $$\displaystyle \left[\frac{t^6}{6}-\frac{t^4}{4}+\frac{t^2}{2}-\frac12\log(1+t^2)\right]_0^{\sqrt3} =\frac{27}{6}-\frac94+\frac32-\log2 =\frac{15}{4}-\log2.$$

tanの冪の導関数を恒等式で分解し、二積分の和を一つの微分として積分した。(2)は正接置換後に有理式を割り算し、端点を代入した。