1千葉大学 2019年 数学 第1問解答・解説

（1）$\angle APB=\theta$ とおく。対角線 $AC,BD$ は $P$ で交わるので、$\angle APD=180^\circ-\theta$ である。正弦定理より $AB=2R_1\sin\theta$、$AD=2R_2\sin(180^\circ-\theta)=2R_2\sin\theta$。したがって $\displaystyle \frac{R_1}{R_2}=\frac{AB}{AD}=\frac{5}{2}$。 （2）$\angle ABC=\phi$ とおく。四角形 $ABCD$ は円に内接するから、$\angle ADC=180^\circ-\phi$。余弦定理を三角形 $ABC$、$ADC$ に用いると、$$AC^2=5^2+4^2-2\cdot5\cdot4\cos\phi,\qquad AC^2=2^2+4^2-2\cdot2\cdot4\cos(180^\circ-\phi)=2^2+4^2+2\cdot2\cdot4\cos\phi.$$ 両式を等置して $56\cos\phi=21$、よって $\displaystyle \cos\phi=\frac{3}{8}$。ゆえに $$\displaystyle AC^2=25+16-40\cdot\frac{3}{8}=26,\qquad AC=\sqrt{26}.$$