13千葉大学 2019年 数学 第13問解答・解説

直線の右辺を $L_a(x)=(2a+3)x-a(a+3)$ とおくと、上端と下端の差は $$L_a(x)-x^2=(x-a)(a+3-x)$$ である。したがって $D(a)$ の点では $a\le x\le a+3$。

(1) $a=n$ は整数なので、格子点の $x$ 座標は $n,n+1,n+2,n+3$ に限られる。$x=n+k$（$k=0,1,2,3$）とすると、上下端の差は $$L_n(n+k)-(n+k)^2=k(3-k).$$ よって各 $x$ に対する整数 $y$ の個数は $k(3-k)+1$ であり、順に $1,3,3,1$。合計は $8$ 個である。

(2) $T(x,y)=(x+1,y+2x+1)$ と定める。移った点を $(X,Y)=T(x,y)$ と書けば $$Y-X^2=y-x^2,$$ また $$L_{a+1}(X)-Y=L_a(x)-y$$ である。従って $y\ge x^2$ かつ $y\le L_a(x)$ であることと $Y\ge X^2$ かつ $Y\le L_{a+1}(X)$ であることは同値であり、$T$ は $D(a)$ と $D(a+1)$ を対応させる。$T$ とその逆写像 $$T^{-1}(X,Y)=(X-1,Y-2X+1)$$ はいずれも格子点を格子点へ移す。よって両領域の格子点を重複も漏れもなく一対一に対応させられ、個数は等しい。

領域の縦幅を因数分解すると整数nでは4つの整数x座標の各列に1,3,3,1個の格子点がある。一般のaでは整数を保つ平行移動T(x,y)=(x+1,y+2x+1)が上下の不等式を同値に移すため、格子点を重複も漏れもなく一対一に対応させられる。