1高知大学 2025年 数学 第1問解答・解説

準備　 有限集合について $$n(P\cup Q)=n(P)+n(Q)-n(P\cap Q)$$ を用いる。

(1)　 $a=1$のとき、$x^2+y^2\leq1$を満たす整数点は $$(0,0),\ (1,0),\ (-1,0),\ (0,1),\ (0,-1)$$ の5点である。したがって $n(P)=5$。

(2)　 $a=2$のとき、$x'=x-b$とおくと、$x'$も整数全体を動き、$Q$の条件は $x'^2+y^2\leq16$となる。$x'$ごとに数えると $$\begin{array}{c|ccccc} x'&0&\pm1&\pm2&\pm3&\pm4\\ \hline \text{点数}&9&14&14&10&2 \end{array}$$ だから $n(Q)=9+14+14+10+2=49$。

(3)　 $b=a^2-10$で、$b$は正の整数なので $a\geq4$。 $P$に属する点の$x$座標は $-a\leq x\leq a$、$Q$に属する点の$x$座標は $b-2a\leq x\leq b+2a$を満たす。$b>0$より $b+2a>a$だから、これらの区間が重なる条件は $b-2a\leq a$、すなわち $b\leq3a$である。 この条件を満たすとき、整数 $\displaystyle x_0=\max(-a,b-2a)$は両方の区間に入り、$(x_0,0)\in P\cap Q$となる。逆に $b>3a$なら両区間は重ならず、共通点はない。よって $$n(P\cup Q)\ne n(P)+n(Q)\text{すなわち} P\cap Q\ne\varnothing\text{すなわち} b\leq3a.$$ $b=a^2-10$を代入すると $$a^2-3a-10\leq0\text{すなわち}(a-5)(a+2)\leq0\text{すなわち} -2\leq a\leq5.$$ $a\geq4$と合わせて $a=4,5$。

(4)　 $(x,y)\mapsto(-x,-y)$は$P$を保ち、固定される格子点は$(0,0)$だけなので $n(P)$は奇数である。同様に $(x,y)\mapsto(2b-x,-y)$は$Q$を保ち、固定点は$(b,0)$だけなので $n(Q)$も奇数である。和集合の公式より、$n(P\cup Q)$の偶奇は$n(P\cap Q)$の偶奇と一致する。 $P\cap Q$では$(x,y)$と$(x,-y)$が組になるため、その個数の偶奇は $y=0$上の共通点数の偶奇で決まる。このときの$x$の範囲は $$\displaystyle \max(-a,20-2a)\leq x\leq a.$$ $a\leq6$なら共通点は0個、$a=7$なら2個で、いずれも偶数。$7\leq a<20$では点数は $3a-19$個であり、$a=8$で初めて奇数となる。$a\geq20$では点数は $2a+1$個だが、これより小さい $a=8$ですでに奇数となる。したがって求める最小値は $a=8$。