2高知大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1)　 C_1:y=-x^3+ax^2+2ax+b, C_2:y=x^3+px^2+qx+r とする。 C_1'(x)=-3x^2+2ax+2a より C_1'(-1)=-3-2a+2a=-3 であり，これは a の値によらない。 P における共通接線 l の傾きは -3 であり， l:y=C_1(-1)-3(x+1) と書ける。 C_1(x)-l(x)=-x^3+ax^2+2ax+b-{(1-a+b)-3(x+1)}=-x^3+ax^2+(2a+3)x+(a+2) である。 l は C_1 に x=-1 で接する（重解）から，最高次係数 -1 に注意して C_1(x)-l(x)=-(x+1)^2(x-s)　(s は C_1 と l のもう一方の交点の x 座標) と表せる。右辺を展開すると -(x+1)^2(x-s)=-x^3+(s-2)x^2+(1-2s)(-1)x$\cdots$ であり，係数比較（定数項）から a+2=s, すなわち a=s-2 を得る（x^2,x の係数比較でも同じ式に帰着し矛盾しない）。 条件より C_1,C_2,l は x=$\displaystyle \dfrac{3}{2}$ でちょうど1点で交わるから，特に C_1 と l はここでも交わり，これが上記の第二の交点 s に他ならない。よって s=$\displaystyle \dfrac{3}{2}$ である。 したがって a=s-2=$\displaystyle \dfrac{3}{2}$-2=-$\displaystyle \dfrac{1}{2}$. $\displaystyle \boxed{a=-\dfrac{1}{2}}$ (2)　 a=-$\displaystyle \dfrac{1}{2}$ のとき C_1:y=-x^3-$\displaystyle \dfrac{1}{2}$x^2-x+b である。 y_P:=C_1(-1)=1-a+b=$\displaystyle \dfrac{3}{2}$+b,　　 l(x)=y_P-3(x+1)=-3x+b-$\displaystyle \dfrac{3}{2}$ （a=-$\displaystyle \tfrac12$ を代入） さらに l$\displaystyle \left(\dfrac{3}{2}\right)$=b-6 （C_1$\displaystyle \left(\tfrac32\right)$=b-6 とも一致することは直接代入で確認できる）。 C_2 もこの共通接線 l に x=-1 で接するので次の2条件を得る： C_2(-1)=C_1(-1):　 -1+p-q+r=$\displaystyle \dfrac{3}{2}$+b　$\cdots$(i) C_2'(-1)=-3:　 C_2'(x)=3x^2+2px+q, 3-2p+q=-3 $\quad\text{ならば}\quad$ q=2p-6　$\cdots$(ii) また C_1,C_2,l が x=$\displaystyle \dfrac{3}{2}$ で1点に交わる条件から C_2$\displaystyle \left(\dfrac{3}{2}\right)$=b-6 ： $\displaystyle \dfrac{27}{8}$+$\displaystyle \dfrac{9}{4}$p+$\displaystyle \dfrac{3}{2}$q+r=b-6　$\cdots$(iii) (ii)を(i)(iii)に代入して r を消去すると (i)より r=$\displaystyle \dfrac{5}{2}$+b-p+q=$\displaystyle \dfrac{5}{2}$+b-p+(2p-6)=b+p-$\displaystyle \dfrac{7}{2}$ (iii)より r=b-6-$\displaystyle \dfrac{27}{8}$-$\displaystyle \dfrac{9}{4}$p-$\displaystyle \dfrac{3}{2}$(2p-6)=b-$\displaystyle \dfrac{3}{8}$-$\displaystyle \dfrac{21}{4}$p 両者を等置して p+b-$\displaystyle \dfrac{7}{2}$=b-$\displaystyle \dfrac{3}{8}$-$\displaystyle \dfrac{21}{4}$p $\quad\text{ならば}\quad$ $\displaystyle \dfrac{25}{4}$p=$\displaystyle \dfrac{25}{8}$ $\quad\text{ならば}\quad$ p=$\displaystyle \dfrac{1}{2}$. よって q=2p-6=-5,　　 r=b+p-$\displaystyle \dfrac{7}{2}$=b-3. $\displaystyle \boxed{p=\dfrac{1}{2},\ q=-5,\ r=b-3}$ （検算： C_1(-1)=C_2(-1)=$\displaystyle \tfrac32$+b, C_1'(-1)=C_2'(-1)=-3, C_1$\displaystyle \left(\tfrac32\right)$=C_2$\displaystyle \left(\tfrac32\right)$=b-6 を直接代入で確認済み。） (3)　 C_1(x)-C_2(x)=(-x^3-$\displaystyle \tfrac12$x^2-x+b)-(x^3+$\displaystyle \tfrac12$x^2-5x+b-3)=-2x^3-x^2+4x+3. x=-1, x=$\displaystyle \dfrac{3}{2}$ は（(1)(2)の設定より）ともに C_1-C_2=0 の解であり，実際 -2x^3-x^2+4x+3=-(x+1)^2(2x-3)=-2(x+1)^2$\displaystyle \left(x-\dfrac{3}{2}\right)$ と因数分解できる（係数比較で確認）。 x=-1 は重解（接し，符号は変わらない）， x=$\displaystyle \dfrac{3}{2}$ は単純解（横切る）である。 x$\le$$\displaystyle \dfrac{3}{2}$ では (x+1)^2$\ge$0, $\displaystyle \left(x-\tfrac32\right)$$\le$0 だから C_1(x)-C_2(x)=-2(x+1)^2$\displaystyle \left(x-\tfrac32\right)$$\ge$0 で，等号は x=-1,$\displaystyle \dfrac{3}{2}$ のみ。 x>$\displaystyle \dfrac{3}{2}$ では C_1(x)-C_2(x)<0 で以後交わらないから， C_1 と C_2 が囲む部分は -1$\le$ x$\le$$\displaystyle \dfrac{3}{2}$ の一つの領域だけである。 面積 S は $\displaystyle S=\int_{-1}^{3/2}(C_1(x)-C_2(x))\,dx=\int_{-1}^{3/2}-2(x+1)^2\left(x-\frac32\right)\,dx$. 一般に $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}$(x-$\alpha$)^2(x-$\beta$) dx=-$\displaystyle \dfrac{(\beta-\alpha)^4}{12}$ （t=x-$\alpha$ と置換すれば $\displaystyle \int_0^{L}$(t^3-Lt^2) dt=$\displaystyle \dfrac{L^4}{4}$-$\displaystyle \dfrac{L^4}{3}$=-$\displaystyle \dfrac{L^4}{12}$, L=$\beta$-$\alpha$ で確かめられる）を $\alpha$=-1, $\beta$=$\displaystyle \dfrac32$, L=$\displaystyle \dfrac{5}{2}$ に用いると $\displaystyle \int_{-1}^{3/2}$(x+1)^2$\displaystyle \left(x-\dfrac{3}{2}\right)$dx=-$\displaystyle \dfrac{1}{12}$$\displaystyle \left(\dfrac{5}{2}\right)^4$=-$\displaystyle \dfrac{625}{192}$. よって S=-2$\times$$\displaystyle \left(-\dfrac{625}{192}\right)$=$\displaystyle \dfrac{625}{96}$. （検算：多項式 -2x^3-x^2+4x+3 の原始関数 F(x)=-$\displaystyle \dfrac{x^4}{2}$-$\displaystyle \dfrac{x^3}{3}$+2x^2+3x を用いて直接 F$\displaystyle \left(\tfrac32\right)$-F(-1)=$\displaystyle \dfrac{171}{32}$-$\displaystyle \left(-\dfrac{7}{6}\right)$=$\displaystyle \dfrac{513}{96}$+$\displaystyle \dfrac{112}{96}$=$\displaystyle \dfrac{625}{96}$ と一致することを確認した。） $\displaystyle \boxed{S=\dfrac{625}{96}}$