12千葉大学 2019年 数学 第12問解答・解説

第$k$回の移動を$Y_k/2^k$と書く。ただし$Y_k$ は $-1,0,1$ のいずれかで、それぞれの確率は$1/3$である。$\displaystyle X_n=\sum\limits _{k=1}^nY_k/2^k$。$k$回目以後の和について$$\displaystyle \left|\sum\limits _{j=k+1}^n\frac{Y_j}{2^j}\right|\leq\sum\limits _{j=k+1}^n\frac1{2^j}=\frac1{2^k}-\frac1{2^n}<\frac1{2^k}\tag{1}$$が成り立つ。

(1) 最初の非零の$Y_k$が正なら$X_n>0$、負なら$X_n<0$であり、(1)から他の項がその符号を覆すことはない。従って$X_n=0$となるのは全ての$Y_k=0$のときだけで、その確率は$3^{-n}$。分布は正負対称なので$$\displaystyle P(X_n>0)=\frac{1-3^{-n}}2.$$

(2) $\displaystyle R_1=\sum\limits _{k=2}^nY_k/2^k$とおく。(1)より$|R_1|<1/2$である。よって$X_n=Y_1/2+R_1>1/2$となるには$Y_1=1$かつ$R_1>0$が必要十分。後半$n-1$回について(1)と同じ符号対称性を使うと$P(R_1>0)=(1-3^{-(n-1)})/2$だから、$$\displaystyle P(X_n>1/2)=\frac13\cdot\frac{1-3^{-(n-1)}}2=\frac{1-3^{-(n-1)}}6.$$

(3) $\displaystyle A=2^\ell\sum\limits _{k=1}^{\ell}Y_k/2^k=\sum\limits _{k=1}^{\ell}Y_k2^{\ell-k}$とおけば$A$は整数である。また$\displaystyle B=2^\ell\sum\limits _{k=\ell+1}^nY_k/2^k$とおくと$$\displaystyle |B|\leq\sum\limits _{k=\ell+1}^n2^{\ell-k}=1-2^{-(n-\ell)}<1.$$したがって$2^\ell X_n=A+B>1$は、$A\geq2$、または$A=1$かつ$B>0$の場合に限る。$A\leq0$なら$A+B<1$である。

$A=0$となるのは前半の全項が零のときだけなので$P(A=0)=3^{-\ell}$。また$A=1$となる列はちょうど$\ell$通りある。実際、最初の非零項が重み$2^r$の位置にあるとき、その係数が$+1$で、後続の係数が全て$-1$なら和は$2^r-(2^r-1)=1$となる。この位置の選択が$\ell$通りであり、負の係数から始める場合は後続項の最大和を超えるため不可能である。よって$P(A=1)=\ell/3^\ell$。$A$は正負対称であるから$$\displaystyle P(A\geq2)=\frac{1-3^{-\ell}-2\ell/3^\ell}{2}.$$

後半の$n-\ell$回も符号対称で$P(B>0)=(1-3^{-(n-\ell)})/2$。前半と後半は独立なので$$\displaystyle \begin{aligned}P(X_n>2^{-\ell})&=P(A\geq2)+P(A=1)P(B>0)\\&=\frac{1-3^{-\ell}-2\ell/3^\ell}{2}+\frac{\ell}{3^\ell}\cdot\frac{1-3^{-(n-\ell)}}2\\&=\frac12\left(1-\frac{\ell+1}{3^\ell}-\frac{\ell}{3^n}\right).\end{aligned}$$