I愛知医科大学 2019年 数学 第I問解答・解説

1(a) $x^2=(x^2-3x+2)+(3x-2)$ だから $a_2=3$、$b_2=-2$。

1(b) $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$。余りを $a_nx+b_n$ とし、$x=1,2$ を代入すると $$a_n+b_n=1,\qquad 2a_n+b_n=2^n.$$ よって $a_n=2^n-1$、$b_n=2-2^n$。

1(c) $b_n+30=32-2^n$ だから $$\displaystyle \sum\limits _{n=2}^{10}|b_n+30|=28+24+16+0+32+96+224+480+992=1892.$$

2(a) $(a^2+a+1)^2=a^4+2a^3+3a^2+2a+1$。

2(b) 展開により $$\displaystyle \frac{x^4+y^4+(x+y)^4}{2}=x^4+2x^3y+3x^2y^2+2xy^3+y^4=(x^2+xy+y^2)^2.$$ また $x^2+xy+y^2=(x+y/2)^2+3y^2/4\ge0$ なので、平方根は $x^2+xy+y^2$。

2(c) $2000^2+2000\cdot19+19^2=4038361$。

3) 【条件付き解の追加仮定】以下で$\displaystyle \frac{33}{91}$を求める際は、全16人を16のトーナメント枠へ一様ランダムに配置するものとする。この配置法則は原文に印字された条件ではなく、解説で追加する仮定である。

原文は16人を図のトーナメント表に従って対戦させ、各対戦では背の高い人が勝つこと、身長がすべて異なることを指定する。しかし、空欄16枠に人をどう配置するか、または配置をどの確率で選ぶかは指定していない。固定配置なら結果は決定的である。したがって、原文だけでは準決勝進出の確率は定まらない。

仮に16人を16枠へ一様ランダムに配置すると追加で仮定すれば、5番目に高い人が準決勝に進むには、その人と同じ4人区画の他の3人が全員下位11人である必要がある。この条件下では $$\displaystyle \frac{\binom{11}{3}}{\binom{15}{3}}=\frac{165}{455}=\frac{33}{91}.$$ この確率は、原文にない一様ランダム配置を仮定した場合だけの値である。

1) は因数分解と剰余定理で係数を決め、絶対値和を計算する。2) は平方の展開と非負性で平方根を外す。3) は一様ランダムな枠割当てが明記されていないため、原文からは確率を定められない。一様配置を追加した場合だけ、残る15人から同じ4人区画の他3人を選ぶ組合せ比 $\displaystyle \frac{\binom{11}{3}}{\binom{15}{3}}=\frac{33}{91}$ が得られる。