獨協医科大学／2019年度／一般

獨協医科大学 2019年数学第2問解答・解説

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1問題

獨協医科大学2019年度第2問

右図のような正方形があり、2本の対角線が引かれている。

正方形と2本の対角線の図。左上の頂点に①、右上に②、右下に③、左下に④、対角線の交点に⑤が丸で囲まれて表示されている。

4つの頂点と対角線の交点に、図のように①から⑤の番号が打たれ、それらに1個ずつ、合計5個の白石が置かれている。1個のサイコロを投げ、出た目が1から5のときは、その目と同じ番号にある石を、それが白石ならば黒石に、黒石ならば白石に置きかえ、出た目が6のときはいずれの石も置きかえない、という試行を行う。　 $n$ は正の整数とする。

(1) 「 $n$ 回の試行の後、3点①、⑤、③にある石がすべて同色である確率」を $a_{n}$ とする。 $\displaystyle a_{1}=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}},\quad a_{2}=\frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$ である。 $a_{n+1}$ を $a_{n}$ を用いて表すと、 $\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{\boxed{\text{オ}}}a_{n}+\frac{1}{\boxed{\text{カ}}}$ であるから、 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{\boxed{\text{キ}}}\left(1+\frac{1}{\boxed{\text{ク}}^{n-1}}\right)$ である。

(2) 「 $n$ 回の試行の後、3点①、⑤、③にある石がすべて同色であるか、または3点②、⑤、④にある石がすべて同色である確率」を $b_{n}$ として、 $b_{4}$ を求めたい。 $n$ 回の試行の後、5点①、②、③、④、⑤に置かれた5個の石について、すべて同色である確率を $p_{n}$ 、黒石が1個または4個である確率を $q_{n}$ 、黒石が2個または3個である確率を $r_{n}$ とすると、 $p_{n}+q_{n}+r_{n}=1$ であり、 $\displaystyle \begin{aligned} p_{n+1}&=\frac{1}{\boxed{\text{ケ}}}p_{n}+\frac{1}{\boxed{\text{コ}}}q_{n},\\ q_{n+1}&=\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}p_{n}+\frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}q_{n}+\frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}r_{n} \end{aligned}$ が成り立つ。 $p_{4}$ を求めると、 $\displaystyle p_{4}=\frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}$ となる。 $p_{4}$ および $a_{4}$ の値を用いて計算すると、 $\displaystyle b_{4}=\frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

同色状態と黒石数による分類で確率の漸化式を作り、r状態からq状態へ移る面を2通りと数えてから包除原理を適用した。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad a_1=\frac12,\space{}a_2=\frac13,\space{}a_{n+1}=\frac13a_n+\frac16,\space{}a_n=\frac14\left(1+\frac1{3^{n-1}}\right);\quad$ (2) $\displaystyle \quad p_4=\frac2{27},\space{}b_4=\frac49.$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 3点 $1,5,3$ の石だけを見る。1回の試行でこの3点のいずれも変化しないのは出目が $2,4,6$ のときなので、その確率は $\displaystyle \tfrac12$ 。この3点が同色でない状態から次に同色になるには、異なる色の1点を選んで反転させればよく、その確率は $\displaystyle \tfrac16$ である。従って $\displaystyle a_{n+1}=\frac12a_n+\frac16(1-a_n)=\frac13a_n+\frac16.$ 1回後は出目が $2,4,6$ なら3点がすべて白のままだから $\displaystyle a_1=\tfrac12$ 。漸化式の定数解は $\displaystyle \tfrac14$ であり、 $\displaystyle a_n-\tfrac14=\tfrac13(a_{n-1}-\tfrac14)$ から $\displaystyle a_n=\frac14+\frac14\left(\frac13\right)^{n-1}=\frac14\left(1+\frac1{3^{n-1}}\right).$ 特に $\displaystyle a_2=\tfrac13$ 。

(2) 黒石数により、全て同色の状態、黒石1個または4個の状態、黒石2個または3個の状態をそれぞれ $p_n,q_n,r_n$ とする。全て同色の状態から次も全て同色になるのは出目6のときだけであり、 $q_n$ の状態からはその1個だけ異なる色の石を反転させる出目1〜5のうち1通りで全て同色となる。よって $\displaystyle p_{n+1}=\frac16p_n+\frac16q_n.$ $q_n$ の状態から次も $q$ となるのは出目6のみ。 $p_n$ の状態から $q$ となる出目は1〜5の5通りである。 $r_n$ の状態では、黒石が2個ならその2個のいずれかを反転させると黒石1個に、黒石が3個なら白石2個のいずれかを反転させると黒石4個になる。この場合は各状態で2通りなので確率は $\displaystyle \tfrac26=\tfrac13$ 。従って $\displaystyle q_{n+1}=\frac56p_n+\frac16q_n+\frac13r_n.$ 1回後は $\displaystyle p_1=\tfrac16,q_1=\tfrac56,r_1=0$ 。また $p_n+q_n+r_n=1$ なので $\displaystyle p_2=\frac16,\quad q_2=\frac5{18},\quad r_2=\frac59,$ $\displaystyle p_3=\frac16\left(\frac16+\frac5{18}\right)=\frac2{27},\quad q_3=\frac56\cdot\frac16+\frac16\cdot\frac5{18}+\frac13\cdot\frac59=\frac{10}{27},$ $\displaystyle p_4=\frac16\left(\frac2{27}+\frac{10}{27}\right)=\frac2{27}.$ 事象 $U$ を「点 $1,5,3$ の石が同色」、 $V$ を「点 $2,5,4$ の石が同色」とする。対称性から $\displaystyle P(U)=P(V)=a_4=\tfrac7{27}$ 。両方が成り立つと5個すべてが同色なので $P(U\cap V)=p_4$ 。従って $\displaystyle b_4=P(U\cup V)=2a_4-p_4=2\cdot\frac7{27}-\frac2{27}=\frac49.$

この問題で使う考え方

確率の基本法則
独立な試行
漸化式

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