7千葉大学 2019年 数学 第7問解答・解説

・ $\displaystyle P_n=\prod\limits _{i=1}^n a_i$ とおく。$n=2$ のとき $$a_3=2^2+2-1=5=3\cdot2-1=P_2-1$$ だから成り立つ。$k\geq2$ で $a_{k+1}=P_k-1$ と仮定する。このとき $P_k=a_{k+1}+1$ なので $$P_{k+1}=P_k a_{k+1}=(a_{k+1}+1)a_{k+1} =a_{k+1}^2+a_{k+1}=a_{k+2}+1.$$ 最後の等号では漸化式を $n=k+1$ に適用した。したがって $a_{k+2}=P_{k+1}-1$ であり、数学的帰納法によりすべての $n\geq2$ で $a_{n+1}=P_n-1$ となる。

・ $n\geq2$ では、漸化式から $a_k^2=a_{k+1}-a_k+1$ $(2\leq k\leq n)$ である。よって $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{i=1}^n a_i^2 &=9+\sum\limits _{k=2}^n(a_{k+1}-a_k+1)\\ &=9+(a_{n+1}-a_2)+(n-1) =a_{n+1}+n+6. \end{aligned}$$ (1)から $P_n=a_{n+1}+1$ なので $$\displaystyle \sum\limits _{i=1}^n a_i^2=P_n+n+5.$$ これが $P_n+100$ に等しい条件は $n+5=100$、すなわち $n=95$ である。別に $n=1$ を調べると左辺は $9$、右辺は $a_1+100=103$ で等しくない。したがって求める自然数は $95$ である。