4名古屋大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(1) $0\le a<1/2$なら$[a+1/2]=0$、$1/2\le a<1$なら$[a+1/2]=1$である。従って軌跡は $$\boxed{y=-2x\ (0\le x<1/2),\qquad y=3-2x\ (1/2\le x<1)}.$$ 第一の線分は$(0,0)$を含み$(1/2,-1)$を含まない。第二は$(1/2,2)$を含み$(1,1)$を含まない。この端点の開閉を付けて図示する。 (2) $a_n=m+u$、$m=[a_n]$、$0\le u<1$とおく。$u\ge1/2$なら$[a_n+1/2]=m+1$なので $$a_{n+1}=m+3-2u,\qquad a_{n+1}-a_n=3(1-u)>0.$$ (3) $a_n>a_{n+1}$なら(2)より$u<1/2$であり、$[a_n+1/2]=m$である。したがって$a_{n+1}=3m-2a_n=m-2u$。差$a_n-a_{n+1}=3u>0$より$0<u<1/2$なので $$m-1<a_{n+1}<m,\qquad \boxed{[a_{n+1}]=m-1}.$$ (4) 連続して減少するため、(3)を順に適用し$[a_j]=-(j-1)$を得る。ただし$j=1,\ldots,k$である。したがって$j<k$で $$a_{j+1}=-2a_j-3(j-1).$$ $b_j=a_j+j-4/3$とおくと$b_{j+1}=-2b_j$、$b_1=a-1/3$である。よって $$\displaystyle \boxed{a_k=(-2)^{k-1}\left(a-\frac13\right)-k+\frac43}.$$ この式は設問の連続減少条件下の式であり、任意の$a,k$に無条件に適用するものではない。