3名古屋大学 2021年 数学 第3問解答・解説

終点の番号 $5,9,11,12$ のいずれかを $k$ とし、初期位置 $i$ から $k$ で終了する確率を $h_k(i)$ とする。終点では値を1または0とし、それ以外の位置では次に進める候補の $h_k$ の平均をとる。 (1) 数字2が丸で囲まれるのは、初めに2を選ぶか、初めに1を選んで次に2へ進む場合である。1からの候補は7個なので $$\displaystyle p_2=\frac1{12}+\frac1{12}\cdot\frac17=\frac2{21}.$$ (2) 初期位置 $1,2,3,4,5$ から5で終了する確率は順に $\displaystyle \frac{12}{35},\frac25,\frac12,\frac12,1$。よって $$\displaystyle p_5=\frac1{12}(\frac{12}{35}+\frac25+\frac12+\frac12+1)=\frac8{35}.$$ 初期位置 $1,2,6,7,10,11$ から11で終了する確率は順に $\displaystyle \frac2{15},\frac4{15},\frac16,\frac13,\frac12,1$。従って $$\displaystyle p_{11}=\frac1{12}(\frac2{15}+\frac4{15}+\frac16+\frac13+\frac12+1)=\frac15.$$ (3) 初期位置 $1,2,3,4,6,7,8,9$ から9で終了する確率は順に $\displaystyle \frac4{15},\frac13,\frac12,\frac12,\frac8{15},\frac23,1,1$。したがって $$\displaystyle p_9=\frac1{12}(\frac4{15}+\frac13+\frac12+\frac12+\frac8{15}+\frac23+1+1)=\frac25.$$ 初期位置 $1,6,10,12$ から12で終了する確率は順に $\displaystyle \frac9{35},\frac3{10},\frac12,1$ なので $$\displaystyle p_{12}=\frac1{12}(\frac9{35}+\frac3{10}+\frac12+1)=\frac6{35}.$$ $\displaystyle p_5=\frac8{35},p_9=\frac25,p_{11}=\frac15,p_{12}=\frac6{35}$ より最大値は $\displaystyle \frac25$。

石は右か下へしか動かず、番号が小さく戻ることはない。初めに数字は必ず丸で囲まれ、その後に訪れた数字も丸で残る。したがって2が丸で囲まれるのは、最初に2を選ぶ場合、または最初に1を選び次に2を選ぶ場合だけで、$\displaystyle p_2=\frac1{12}+\frac1{12}\cdot\frac17=\frac2{21}$。 終点$k$に着く確率を$h_k(i)$と置く。$5,9,11,12$にいると終了し、その他の数字では例示と同じく右または下の候補から一様に選ぶので、$h_k(i)$は候補先に対する平均になる。 5を終点とする場合、初期位置$1,2,3,4,5$からの到達確率は順に$\displaystyle \frac{12}{35},\frac25,\frac12,\frac12,1$であり、他の初期位置からは到達できない。$12$個の初期位置を等確率とするため、$\displaystyle p_5=\frac{\frac{12}{35}+\frac25+\frac12+\frac12+1}{12}=\frac8{35}$。 11を終点とする到達確率は初期位置$1,2,6,7,10,11$からそれぞれ$\displaystyle \frac2{15},\frac4{15},\frac16,\frac13,\frac12,1$。したがって$\displaystyle p_{11}=\frac{\frac2{15}+\frac4{15}+\frac16+\frac13+\frac12+1}{12}=\frac15$。 9に到達する確率は、初期位置$1,2,3,4,6,7,8,9$から順に$\displaystyle \frac4{15},\frac13,\frac12,\frac12,\frac8{15},\frac23,1,1$。したがって$\displaystyle p_9=\frac{\frac4{15}+\frac13+\frac12+\frac12+\frac8{15}+\frac23+1+1}{12}=\frac25$。12に到達する確率は、初期位置$1,6,10,12$から順に$\displaystyle \frac9{35},\frac3{10},\frac12,1$。よって$\displaystyle p_{12}=\frac{\frac9{35}+\frac3{10}+\frac12+1}{12}=\frac6{35}$。$\displaystyle p_5=\frac8{35},\ p_{11}=\frac15$と比較して$\displaystyle p_9=\frac25$が最大。