2名古屋市立大学 2019年 数学 第2問解答・解説

$P=|\vec p|>0$, $Q=|\vec q|>0$, $c=\cos\theta$ とおく。条件③から $c\ne0$ である。条件①、②の整数をそれぞれ $$\displaystyle m=\frac{\vec p\cdot\vec q}{\vec p\cdot\vec p}=\frac QP c,\qquad n=\frac{(2\vec p)\cdot(2\vec q)}{\vec q\cdot\vec q}=4\frac PQ c$$ とおけば、$m,n$ はともに0でない整数で、 $$mn=4c^2.$$ よって $mn$ は正の整数であり、$0<4c^2\le4$ だから $d=mn\text{ は }1,2,3,4\text{ のいずれか}$ である。

(1) $c^2=d/4$ より、角度は次のとおり。 $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c} d&\cos\theta&\theta\\ \hline 1&\pm\frac12&\frac\pi3,\frac{2\pi}3\\ 2&\pm\frac{\sqrt2}2&\frac\pi4,\frac{3\pi}4\\ 3&\pm\frac{\sqrt3}2&\frac\pi6,\frac{5\pi}6\\ 4&\pm1&0,\pi \end{array}$$ これらの角度はすべて実現する。

(2) $m,n$ は同符号なので、$m=\varepsilon u,\ n=\varepsilon v$（$\varepsilon=\pm1$、$u,v$ は正の整数）とおくと $uv=d$ であり、 $$\displaystyle \frac QP=\frac mc=\frac{2u}{\sqrt d}.$$ したがって $u$ を $d$ の正の約数全体から選ぶ。 $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c} \theta&d&|\vec q|/|\vec p|\\ \hline 0,\pi&4&1,2,4\\ \frac\pi6,\frac{5\pi}6&3&\frac2{\sqrt3},2\sqrt3\\ \frac\pi4,\frac{3\pi}4&2&\sqrt2,2\sqrt2\\ \frac\pi3,\frac{2\pi}3&1&2 \end{array}$$ 各比の実現も確認できる。固定した $d$、角度の符号 $\varepsilon$、約数 $u\mid d$ に対し、$|\vec p|=1$、$|\vec q|=2u/\sqrt d$、$\cos\theta=\varepsilon\sqrt d/2$ とすれば $m=\varepsilon u$、$n=\varepsilon d/u$ は整数となる。

(3) $\vec p=(1,0)$、$\vec q=(x,y)$ とする。条件①より $x$ は整数であり、条件③より $x\ne0$ である。条件②の整数を $n$ とし、$d=xn$ とおく。$n=4x/(x^2+y^2)$ は $x$ と同符号だから $$\displaystyle d=xn=\frac{4x^2}{x^2+y^2}\text{ は整数},\qquad 0<d\le4,$$ よって $d\text{ は }1,2,3,4\text{ のいずれか}$ である。また $n=d/x$ が整数なので $x\mid d$。さらに $$\displaystyle y^2=x^2\left(\frac4d-1\right),\qquad y\ge0.$$ 各 $d$ について $x$ の約数と $y$ を並べると $$\begin{array}{c|c|c} d&x&y\\ \hline 1&\pm1&\sqrt3\\ 2&\pm1,\pm2&|x|\\ 3&\pm1,\pm3&|x|/\sqrt3\\ 4&\pm1,\pm2,\pm4&0 \end{array}$$ したがって、求める16点は $$\{(\pm1,0),(\pm1,1/\sqrt3),(\pm1,1),(\pm1,\sqrt3), (\pm2,0),(\pm2,2),(\pm3,\sqrt3),(\pm4,0)\}.$$ 逆に表の各行では $x\mid d$ なので $n=d/x\text{ は整数}$ であり、$x^2+y^2=4x^2/d$ から $4x/(x^2+y^2)=d/x=n$ を得る。さらに $x\ne0$、$y\ge0$ であるため、列挙した点はすべて条件を満たす。

図では終点を全て座標平面上に示した。