7千葉大学 2023年 数学 第7問解答・解説

$\displaystyle c=\frac{\sqrt{3}}{2}$ とおく。加法定理より $\cos x-\sqrt{5}\sin x=\sqrt{6}\cos(x+\phi)$ となる角 $\phi$ を取れる。$y=x+\phi$ とすれば $f(x)=\sqrt{6}|\cos y-c|$。

(1) $-1\leq \cos y\leq1$ で $c>0$ だから $|\cos y-c|\leq1+c$。$\cos y=-1$ のとき等号となる。最大値は $\sqrt{6}(1+c)=\sqrt{6}+3\sqrt{2}/2$。

(2) $\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}$ とすれば $c=\cos\alpha$。関数は $2\pi$ 周期で、$\cos y\geq c$ となるのは $-\alpha\leq y\leq\alpha$（mod $2\pi$）である。積分区間を一周期 $-\pi\le y\le\pi$ に移すと、絶対値の反転分を加えて $\displaystyle \int_0^{2\pi}f(x)\,dx=\sqrt{6}\left(2\pi c+2\int_{-\alpha}^{\alpha}(\cos y-c)\,dy\right)=\sqrt{6}\left(2\pi c+4(\sin\alpha-c\alpha)\right)=2\sqrt{6}+2\sqrt{2}\pi$。

(3) $q(y)=|\cos y-c|$、$v=t+\phi+\alpha$ とおき $\displaystyle T(v)=\int_{v-\alpha}^{v+\alpha}q(y)\,dy$ とする。すると $S(t)=\sqrt{6}T(v)$。$q$ が偶関数かつ $2\pi$ 周期なので $T$ も偶関数かつ $2\pi$ 周期であり、$0\leq v\leq\pi$ だけ調べればよい。微積分の基本定理から $T'(v)=q(v+\alpha)-q(v-\alpha)$。

$0\leq v\leq2\alpha$ では、$\cos(v+\alpha)\leq c$、$\cos(v-\alpha)\geq c$ なので $T'(v)=2c-\cos(v+\alpha)-\cos(v-\alpha)=2c(1-\cos v)\geq0$。

$2\alpha\leq v\leq\pi$ では両方の余弦が $c$ 以下なので $T'(v)=\cos(v-\alpha)-\cos(v+\alpha)=2\sin v\sin\alpha\geq0$。したがって $T$ は $0\le v\le\pi$ で増加し、最大は $v=\pi$ で取る。このとき $\displaystyle T(\pi)=\int_{\pi-\alpha}^{\pi+\alpha}(c-\cos y)\,dy=2\alpha c+2\sin\alpha=1+\frac{\sqrt{3}\pi}{6}$。ゆえに $S(t)$ の最大値は $\displaystyle \sqrt{6}(1+\frac{\sqrt{3}\pi}{6})=\sqrt{6}+\frac{\sqrt{2}\pi}{2}$。

$\displaystyle c=\frac{\sqrt3}{2}$とおく。加法定理より $\cos x-\sqrt5\sin x=\sqrt6\cos(x+\phi)$となる角$\phi$を取れる。$y=x+\phi$とすれば$f(x)=\sqrt6|\cos y-c|$。

(1) $-1\le\cos y\le1$で$c>0$だから$|\cos y-c|\le1+c$。$\cos y=-1$のとき等号となる。最大値は$\displaystyle \sqrt6(1+c)=\sqrt6+\frac{3\sqrt2}{2}$。

(2) $\displaystyle \alpha=\frac\pi6$とすれば$c=\cos\alpha$。関数は$2\pi$周期で、$\cos y\ge c$となるのは$-\alpha\le y\le\alpha$（mod $2\pi$）である。積分区間を一周期$-\pi\le y\le\pi$に移すと、絶対値の反転分を加えて $$\displaystyle \int_0^{2\pi}f(x)\,dx=\sqrt6\left(2\pi c+2\int_{-\alpha}^{\alpha}(\cos y-c)\,dy\right)=\sqrt6\left(2\pi c+4(\sin\alpha-c\alpha)\right)=2\sqrt6+2\sqrt2\pi.$$

(3) $q(y)=|\cos y-c|$、$v=t+\phi+\alpha$とおき$\displaystyle T(v)=\int_{v-\alpha}^{v+\alpha}q(y)\,dy$とする。すると$S(t)=\sqrt6T(v)$。$q$が偶関数かつ$2\pi$周期なので$T$も偶関数かつ$2\pi$周期であり、$0\le v\le\pi$だけ調べればよい。微積分の基本定理から $T'(v)=q(v+\alpha)-q(v-\alpha)$。

$0\le v\le2\alpha$では、$\cos(v+\alpha)\le c$、$\cos(v-\alpha)\ge c$なので $$T'(v)=2c-\cos(v+\alpha)-\cos(v-\alpha)=2c(1-\cos v)\ge0.$$ $2\alpha\le v\le\pi$では両方の余弦が$c$以下なので $$T'(v)=\cos(v-\alpha)-\cos(v+\alpha)=2\sin v\sin\alpha\ge0.$$ したがって$T$は$0\le v\le\pi$で増加し、最大は$v=\pi$で取る。このとき $$\displaystyle T(\pi)=\int_{\pi-\alpha}^{\pi+\alpha}(c-\cos y)\,dy=2\alpha c+2\sin\alpha=1+\frac{\sqrt3\pi}{6}.$$ ゆえに$S(t)$の最大値は$\displaystyle \sqrt6\left(1+\frac{\sqrt3\pi}{6}\right)=\sqrt6+\frac{\sqrt2\pi}{2}$。