8東邦大学 2021年 数学 第8問解答・解説

半直線は原点から角 $\theta$ 方向に伸びるので、$A_\theta=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ とおくと $r=\mathrm{OA}_\theta$ である。曲線の式に代入して $$r^2(\cos^2\theta+4\sin\theta\cos\theta+5\sin^2\theta)=1,$$ 従って $$\displaystyle f(\theta)=\frac1{r^2}=\cos^2\theta+4\sin\theta\cos\theta+5\sin^2\theta =3-2\cos2\theta+2\sin2\theta.$$ $\phi=2\theta$ とすると $0\le\phi\le\pi$ であり、 $$\displaystyle \sin\phi-\cos\phi=\sqrt2\sin\left(\phi-\frac\pi4\right),\qquad -\frac\pi4\le\phi-\frac\pi4\le\frac{3\pi}{4}.$$ この区間で正弦の最小値は左端の $-\sqrt2/2$、最大値は内部の $1$ である。したがって $$-1\le\sin\phi-\cos\phi\le\sqrt2,$$ よって $$1\le f(\theta)=3+2(\sin\phi-\cos\phi)\le3+2\sqrt2.$$ 下限は $\phi=0$、上限は $\phi=3\pi/4$ で実際にとる。

次に $g(u)=3-2\cos u+2\sin u$ とおくと $f(\theta_k)=g(k\pi/n)$ である。幅 $\pi/n$ の右端リーマン和より $$\displaystyle \begin{aligned} \lim\limits _{n\to\infty}\frac1n\sum\limits _{k=1}^{n}f(\theta_k) &=\frac1\pi\lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=1}^{n}g\left(\frac{k\pi}{n}\right)\frac\pi n\\ &=\frac1\pi\int_0^\pi(3-2\cos u+2\sin u)\,du\\ &=\frac{3\pi+4}{\pi}=3+\frac4\pi. \end{aligned}$$ 検算として、$f(0)=1$、$f(\pi/2)=5$、$f(3\pi/8)=3+2\sqrt2$ であり、求めた範囲の端点を含む。