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東邦大学／2021年度／一般

東邦大学 2021年 数学 第6問解答・解説

いろいろな式二次関数

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1問題

東邦大学2021年度第6問

mm を実数とする。xx の2次方程式 m2x2−mx+m+2=0m^{2}x^{2}-mx+m+2=0 が異なる2つの実数解 α,β\alpha,\beta をもつような定数 mm の値の範囲は m<サシス\displaystyle m<\frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}} である。また，mm がこの範囲にあるとき，(α−β)2(\alpha-\beta)^{2} の最大値は セソ\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}} である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

判別式と二次係数の条件でmの範囲を定める。解と係数の関係で根の差の二乗を書き、逆数を変数にして平方完成し、頂点が定義域内にあることを確認する。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • m<−74,max⁡(α−β)2=47.\displaystyle m<-\frac74,\qquad \max(\alpha-\beta)^2=\frac47.

4解答

解答を見る途中式つきの解答

二次方程式であるためには m2≠0m^2\ne0、すなわち m≠0m\ne0 が必要である。判別式は D=(−m)2−4m2(m+2)=m2(−4m−7).D=(-m)^2-4m^2(m+2)=m^2(-4m-7). 異なる2つの実数解をもつ条件は D>0D>0 だから、m≠0m\ne0 のもとで −4m−7>0-4m-7>0、すなわち m<−74\displaystyle m<-\frac74 である。

この範囲で解と係数の関係から α+β=1m,αβ=m+2m2.\displaystyle \alpha+\beta=\frac1m,\qquad \alpha\beta=\frac{m+2}{m^2}. よって (α−β)2=(α+β)2−4αβ=−4m−7m2.\displaystyle (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta =\frac{-4m-7}{m^2}. u=1/mu=1/m とおくと m<−7/4m<-7/4 は −4/7<u<0-4/7<u<0 に対応し、 (α−β)2=−4u−7u2=−7(u+27)2+47.\displaystyle (\alpha-\beta)^2=-4u-7u^2 =-7\left(u+\frac27\right)^2+\frac47. 頂点 u=−2/7u=-2/7 はこの範囲に含まれ、対応する m=−7/2m=-7/2 も許される。したがって最大値は 4/74/7 である。検算として m=−7/2m=-7/2 を代入すると、判別式は正で、解の差の二乗は 4/74/7 となる。

この問題で使う考え方

  • 二次方程式の判別式
  • 解と係数の関係
  • 二次関数の最大・最小

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