5東邦大学 2021年 数学 第5問解答・解説

角の二等分線の定理より $$\displaystyle AD:DC=AB:BC=4:5,\qquad AD=\frac{8}{3},\quad DC=\frac{10}{3}.$$ 余弦定理を $\triangle ABC$ に用いると $$\displaystyle \cos B=\frac{AB^2+BC^2-CA^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{16+25-36}{40}=\frac18.$$ $BD$ は角 $B$ の二等分線なので $$\displaystyle \cos\frac B2=\sqrt{\frac{1+\cos B}{2}}=\frac34.$$ 余弦定理を $\triangle ABD$、$\triangle CBD$ にそれぞれ用いて差をとると $$\displaystyle AD^2-DC^2=AB^2-BC^2-2BD\cos\frac B2(AB-BC).$$ 数値を代入して $$\displaystyle \frac{64-100}{9}=16-25-2BD\cdot\frac34(4-5),\qquad -4=-9+\frac32BD,$$ よって $BD=10/3$ である。

三角形の半周長は $s=(4+5+6)/2=15/2$。ヘロンの公式から面積 $K$ は $$\displaystyle K=\sqrt{\frac{15}{2}\cdot\frac72\cdot\frac52\cdot\frac32} =\frac{15\sqrt7}{4}.$$ 内接円の半径 $r$ は $K=rs$ より $$\displaystyle r=\frac{K}{s}=\frac{15\sqrt7/4}{15/2}=\frac{\sqrt7}{2}.$$ 検算として、求めた半径と半周長の積は $rs=(\sqrt7/2)(15/2)=15\sqrt7/4$ となり、ヘロンの公式による面積と一致する。