1東邦大学 2021年 数学 第1問解答・解説

$160!$ に含まれる素因数2の個数は、2の倍数から1個ずつ数え、4の倍数からさらに1個ずつ、8の倍数からさらに1個ずつ、というように数えればよい。したがって $$\displaystyle \left\lfloor\frac{160}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{160}{4}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{160}{8}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{160}{16}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{160}{32}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{160}{64}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{160}{128}\right\rfloor =80+40+20+10+5+2+1=158.$$ 末尾の0は因数10を1個作るごとに1個増える。160!では素因数2の個数の方が素因数5の個数より多いので、個数は素因数5の指数で決まる。よって $$\displaystyle \left\lfloor\frac{160}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{160}{25}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{160}{125}\right\rfloor=32+6+1=39.$$ 以上より、素因数2の個数は158個、末尾に連続する0は39個である。検算として、2の指数158は5の指数39より大きく、末尾の0を決める因子が5であることと一致する。