7東邦大学 2021年 数学 第7問解答・解説

まず $0<a_1=3/2<3$。もし $0<a_n<3$ ならば $12-a_n>0$、また漸化式の分子も正なので $a_{n+1}>0$。さらに次の変形式から $a_{n+1}-3<0$ となる。よって帰納法により全ての $n$ で $0<a_n<3$ であり、以下の逆数は定義される。

漸化式から $$\displaystyle a_{n+1}-3=\frac{6a_n+9}{12-a_n}-3 =\frac{9(a_n-3)}{12-a_n}.$$ 従って $$\displaystyle \frac1{a_{n+1}-3}=\frac{12-a_n}{9(a_n-3)} =\frac1{a_n-3}-\frac19,$$ すなわち $$\displaystyle \frac1{a_{n+1}-3}-\frac1{a_n-3}=-\frac19.$$ 初項から $1/(a_1-3)=-2/3$ なので、この等差関係を足し合わせると $$\displaystyle \frac1{a_n-3}=-\frac23-\frac{n-1}{9}=-\frac{n+5}{9},\qquad a_n=3-\frac9{n+5}=\frac{3(n+2)}{n+5}.$$ よって和の各項は $$\displaystyle \frac{a_k}{(k+2)(k+4)}=\frac{3}{(k+5)(k+4)} =3\left(\frac1{k+4}-\frac1{k+5}\right).$$ したがって和は望ましい形に消去し $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{50}\frac{a_k}{(k+2)(k+4)} =3\left(\frac15-\frac1{55}\right)=\frac6{11}.$$ 検算として、一般項は $a_1=3\cdot3/6=3/2$ を満たし、望遠和の両端は $1/5$ と $1/55$ である。