3岐阜大学 2021年 数学 第3問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} &(1)\quad a_1=4,\quad a_2=4-\frac44=3,\quad a_3=4-\frac43=\frac83,\quad a_4=4-\frac{4}{8/3}=4-\frac32=\frac52,\\ &\hspace{2em}b_1=1\cdot4=4,\quad b_2=2\cdot3=6,\quad b_3=3\cdot\frac83=8,\quad b_4=4\cdot\frac52=10.\\[2pt] &(2)\quad a_n=\frac{b_n}{n},\quad b_{n+1}=(n+1)\left(4-\frac{4n}{b_n}\right) =\frac{4(n+1)(b_n-n)}{b_n}.\\[2pt] &(3)\quad b_1=4=2\cdot1+2.\\ &\hspace{2em}b_n=2n+2\ \text{と仮定すると}\ a_n=\frac{2n+2}{n}>0,\quad b_{n+1}=\frac{4(n+1)((2n+2)-n)}{2n+2}=2n+4=2(n+1)+2.\\ &\hspace{2em}\text{したがって}\ b_n=2n+2\quad(n\ge1).\\[2pt] &(4)\quad a_n=\frac{b_n}{n}=2+\frac2n.\\[2pt] &(5)\quad c_k=\prod\limits _{j=1}^{k}a_j =\prod\limits _{j=1}^{k}\frac{2(j+1)}{j} =2^k\frac{2}{1}\frac{3}{2}\cdots\frac{k+1}{k} =(k+1)2^k.\\ &\hspace{2em}S_n=\sum\limits _{k=1}^{n}c_k,\quad S_1=c_1=4=1\cdot2^2.\\ &\hspace{2em}S_n=n2^{n+1}\ \text{と仮定すると}\ S_{n+1}=S_n+c_{n+1} =n2^{n+1}+(n+2)2^{n+1} =(n+1)2^{n+2}.\\ &\hspace{2em}\text{したがって}\ \sum\limits _{k=1}^{n}c_k=n2^{n+1}\quad(n\ge1). \end{aligned}$$