4岐阜大学 2021年 数学 第4問解答・解説

(1) $S$ は $$\displaystyle S=\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx=\left[-\frac12\cos2x\right]_0^{\pi/2}=1.$$

(2) $0<x<\pi/2$ では $\cos x>0$ だから、共有点の条件 $\sin2x=r\cos x$ は $$r=2\sin x$$ と同値である。$2\sin x$ はこの区間で増加し、値域は $0<2\sin x<2$ なので共有点がただ1つ存在するための範囲は $0<r<2$。その $x$ 座標を $t$ とすると $r=2\sin t$。

(3) $x=t$ から $\pi/2$ では $f(x)\ge g(x)$ であり、両端で交わる。よって $$\displaystyle T=\int_t^{\pi/2}(\sin2x-r\cos x)\,dx =\frac12+\frac12\cos2t-r(1-\sin t).$$ $r=2\sin t$ と $\displaystyle \frac12+\frac12\cos2t=\cos^2t$ を用いると $$\displaystyle T=\cos^2t-2\sin t(1-\sin t)=(1-\sin t)^2=(1-\frac r2)^2.$$

(4) $S/T=4$ と $S=1$ から $T=1/4$。範囲 $0<r<2$ なので $1-r/2>0$、従って $1-r/2=1/2$、$r=1$。このとき $2\sin t=1$ より $t=\pi/6$、また $y=\sin2t=\sqrt3/2$。従って $P=(\pi/6,\sqrt3/2)$。

(5) $r=1$ では回転させる部分の範囲 $\pi/6\le x\le\pi/2$ で $f\ge g\ge0$。x軸回りの断面は外半径 $f(x)$、内半径 $g(x)$ の円環だから $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_{\pi/6}^{\pi/2}\left(\sin^22x-\cos^2x\right)dx\\ &=\pi\left[-\frac18\sin4x-\frac14\sin2x\right]_{\pi/6}^{\pi/2} =\boxed{\frac{3\sqrt3\pi}{16}}. \end{aligned}$$