1岐阜大学 2021年 数学 第1問解答・解説

座標は $A=(1,1,0),B=(1,0,1),C=(1,1,1)$ である。

(1) $\vec a=(1,1,0),\vec b=(1,0,1),\vec c=(1,1,1)$ より $$\boxed{\vec a\cdot\vec b=1,\quad\vec b\cdot\vec c=2,\quad\vec c\cdot\vec a=2}.$$

(2) 面ABCは平面 $x=1$ 上にあり、$CA$ と $CB$ は直交し長さはともに1 なので $[ABC]=1/2$。P,Qの内分表示から $[APQ]=tu[ABC]=tu/2$。またBを頂点とする三角形BPMは、辺BA上の比 $BP/BA=1-t$、辺BC上の比 $BM/BC=1/2$ により $[BPM]=(1-t)[ABC]/2=(1-t)/4$。同様に $[CQM]=(1-u)/4$。

(3) 四面体OABCの底面をABCとすると高さはOから平面 $x=1$ までの距離1。OMPQも同じ高さなので、体積比は底面積比 $[MPQ]/[ABC]$ に等しい。平面 $x=1$ 上の $(y,z)$ 座標では $$M=(1/2,1),\quad P=(1-t,t),\quad Q=(1,u).$$ 座標面積公式から $$\displaystyle [MPQ]=\frac12\left|\det\begin{pmatrix}1/2-t&t-1\\1/2&u-1\end{pmatrix}\right| =\frac{t+u-2tu}{4},$$ ここで $t+u-2tu=t(1-u)+u(1-t)\ge0$。従って $$\displaystyle \boxed{\frac{V'}V=\frac{t+u-2tu}{2}}.$$

(4) $\overrightarrow{OM}=(1,1/2,1)$、$\overrightarrow{PQ}=(0,t,u-t)$ だから $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{OM}=u-\frac t2.$$ 直交条件より $\boxed{t=2u}$。

(5) $0\le t,u\le1$ より $0\le u\le1/2$。代入すると $$\displaystyle \frac{V'}V=\frac{3u-4u^2}{2} =-2\left(u-\frac38\right)^2+\frac9{32}.$$ 最大値は $u=3/8,t=3/4$ のときの $\boxed{9/32}$。