5岐阜大学 2021年 数学 第5問解答・解説

独立解答：大問5 $n\ge2$ を自然数とし、$f(x)=x^ne^{-x}$、$g(x)=e^{x-n}-(x/n)^n$（$x\ge0$）とする。

(1) $f'(x)$ 積の微分法より $$f'(x)=nx^{n-1}e^{-x}-x^ne^{-x}=x^{n-1}e^{-x}(n-x).$$

(2) $f(x)$ の最大値 $x>0$ では $x^{n-1}e^{-x}>0$ であるから、$0<x<n$ で $f'(x)>0$、$x>n$ で $f'(x)<0$ となる。したがって $f$ は $x=n$ で最大となり、 $$\displaystyle \max\limits _{x\ge0} f(x)=f(n)=\frac{n^n}{e^n}=\left(\frac ne\right)^n.$$

(3) 不等式 $n^{-n}e^x>0$ なので、これを分母とする比を整理すると $$\displaystyle \frac{g(x)}{e^x n^{-n}} =\frac{e^{x-n}}{e^xn^{-n}}-\frac{(x/n)^n}{e^xn^{-n}} =n^ne^{-n}-x^ne^{-x} =f(n)-f(x)\ge0.$$ 最後の不等号は (2) の最大値から従う。等号は $x=n$ のときに成り立つ。

(4) 面積 $S_n$ (3) から $g(x)\ge0$ であり、等号は $x=n$ のときである。したがって指定された部分は $n\le x\le n+1$ の曲線と $x$ 軸の間の部分であり、 $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=\int_n^{n+1}\left(e^{x-n}-\left(\frac{x}{n}\right)^n\right)\,dx\\ &=e-1-\frac{(n+1)^{n+1}-n^{n+1}}{(n+1)n^n}\\ &=e-1-\left(1+\frac1n\right)^n+\frac{n}{n+1}\\ &=e-\left(1+\frac1n\right)^n-\frac1{n+1}. \end{aligned}$$

(5) 不等式 $x>n$ では (2) より $f(x)<f(n)$ だから、(3) の等式から $g(x)>0$ である。特に $n<x\le n+1$ で正であり、よって $\displaystyle S_n=\int_n^{n+1}g(x)\,dx>0$。 (4) の式を用いると $$\displaystyle \frac1{n+1}<e-\left(1+\frac1n\right)^n,$$ が従う。