鹿児島大学 2021年数学第4問解答・解説

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1問題

鹿児島大学2021年度第4問

実数全体で微分可能な関数 $f(x)$ が $\displaystyle f(x)=e^{-x}\left(\frac{1}{2}x^{2}+\int_{0}^{x}e^{t}f(t)\,dt\right)$ を満たすとする。ただし， $e$ は自然対数の底とし，以下では $\displaystyle\lim\limits _{x\to\infty}xe^{-x}=0$ を用いてよいものとする。

(1) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。また， $f(x)$ を求めよ。

(2) $f(x)$ の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，グラフの概形をかけ。

(3) $a>0$ とする。曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=1, x=0$ および $x=a$ で囲まれた部分の面積 $S(a)$ を求めよ。また， $\displaystyle\lim\limits _{a\to\infty}S(a)$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
f′(x)=xe^(−x), f(x)=1−(x+1) $e^{(−x)}$
(2)
減少： $( -\infty,0]$ 、増加： $[0,\infty)$ 。 $x=0$ で最小値 $0$ 。下に凸： $x<1$ 、上に凸： $x>1$ 。変曲点： $\displaystyle (1,1-\frac2e)$ 。 $f(-1)=1$ 、 $x\to-\infty$ で $f\to\infty$ 、 $x\to\infty$ で $f\to1$ を下から。
(3)
$S(a)=2-(a+2)e^{-a}$ 、 $\displaystyle \lim\limits _{a\to\infty}S(a)=2$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

積分方程式に $e^x$ をかけて微分すると $f'(x)=xe^{-x}$ 。 $x=0$ から $f(0)=0$ なので積分定数を決め、 $f(x)=1-(x+1)e^{-x}$ を得て元の式でも確認する。 $f'$ の符号で増減と最小値を調べ、 $f''(x)=(1-x)e^{-x}$ の符号で凹凸・変曲点を求める。端の極限と $f(-1)=1$ も示し、問題が求める概形を図示する。 $a>0$ では $0\le x\le a$ で $1-f(x)=(x+1)e^{-x}>0$ なので面積を積分し、許された極限を使って $S(a)$ の極限を求める。

この問題で使う考え方

積分方程式の両辺にe^xをかけて微分
初期値から積分定数を決定
導関数・二階導関数の符号による増減と凹凸
定積分による面積
指数関数の極限

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