4東北大学 2025年 数学 第4問解答・解説

接点の $x$ 座標を $t$ とする。$f(t)=g(t)$ かつ $f'(t)=g'(t)$ であり、 $$\displaystyle f'(x)=\frac{n}{x},\qquad g'(x)=anx^{n-1}$$ だから、接線の傾きの一致より $at^n=1$。これを共有点の条件に代入すると $n\log t=1$ なので $$\displaystyle t=e^{1/n},\qquad a=t^{-n}=\frac1e.$$

(2) $f(x)$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わり、$g(x)$ は $x=0$ で $x$ 軸と交わる。接点は $t=e^{1/n}>1$ である。したがって囲まれた部分の面積は、$0\le x\le1$ では $g$ と $x$ 軸の間、$1\le x\le t$ では $g$ と $f$ の間の面積の和である。 $1\le x\le t$ の範囲で $s=n\log x$ と置けば $0\le s\le1$ であり、 $$g(x)-f(x)=e^{s-1}-s.$$ この差の $s$ による導関数は $e^{s-1}-1\le0$。また $s=1$ で差は0だから、$0\le s\le1$ では $g(x)-f(x)\ge0$。よってこの区間では $g$ が上側、$f$ が下側であり、次の積分の上下関係が正当化される。 $$\displaystyle \begin{aligned} S_n&=\int_0^1\frac{x^n}{e}\,dx+\int_1^t\left(\frac{x^n}{e}-n\log x\right)dx\\ &=\frac1e\int_0^t x^n\,dx-n\int_1^t\log x\,dx\\ &=\frac{t}{n+1}-n\left[t\log t-t+1\right]\\ &=\frac{t}{n+1}-n\left[\frac{t}{n}-t+1\right] =\frac{n^2}{n+1}t-n. \end{aligned}$$ よって $t=e^{1/n}$ を代入して $$\displaystyle S_n=\frac{n^2}{n+1}e^{1/n}-n.$$

(3) $u=1/n$ とおくと $$\displaystyle S_n=\frac{e^u-(1+u)}{u(1+u)} =\frac{\dfrac{e^u-1}{u}-1}{1+u}.$$ 指数関数の微分係数から $\displaystyle \lim\limits _{u\to0}(e^u-1)/u=1$ であるため、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}S_n=0.$$

接点条件からaと接点を定め、領域を二つに分けて積分し、指数関数の基本極限を用いる。