3東北大学 2025年 数学 第3問解答・解説

(1)　 $$f'(x)=4x^3+4ax^2+2(a+2)x=2xq(x),\qquad q(x)=2x^2+2ax+a+2.$$ まず $a<-2$ なら $$\displaystyle f(x)=x^2\left(x^2+\frac{4a}{3}x+a+2\right)$$ であり、括弧内は $x=0$ で負なので、$x=0$ は極大点である。

$a=-2$ のときは $f'(x)=4x^2(x-2)$ となる。$x=0$ の前後で導関数は負のままであり、$x=2$ は極小点だから、極大点はない。

次に $a>-2$ とする。このとき $x=0$ は極小点であり、極大点があれば $q(x)=0$ の根で生じる。判別式は $$D=4a^2-8(a+2)=4\bigl((a-1)^2-5\bigr)$$ である。$-2<a<1-\sqrt5$ では $D>0$、二根の和 $-a>0$ と積 $(a+2)/2>0$ より、二根はともに正である。小さい方の根を通るとき、$f'(x)=2xq(x)$ は正から負に変わるため、そこが極大点となる。$a>1+\sqrt5$ では二根はともに負であり、大きい方の根を通るとき $f'$ は正から負に変わるので、やはり極大点がある。

一方、$1-\sqrt5\le a\le1+\sqrt5$ では $D\le0$。二重根となる端点でも $q$ の符号は変わらず、極大点は生じない。以上と $a=-2$ の場合を合わせると、求める範囲は $$a<-2\text{ または }-2<a<1-\sqrt5\text{ または }a>1+\sqrt5$$ である。

(2)　 $f(0)=0$ であり、 $$\displaystyle f(x)=x^2\left(x^2+\frac{4a}{3}x+a+2\right).$$ $a+2<0$、すなわち $a<-2$ なら括弧内は $x=0$ の近くで負となるため、$f(x)<f(0)$（$x\ne0$ が十分小さいとき）であり、$x=0$ は極大点である。$a+2>0$ なら同様に括弧内は近くで正なので、$x=0$ は極小点となる。$a=-2$ では $$\displaystyle f(x)=x^3\left(x-\frac83\right)$$ となり、$x=0$ の左右で符号が異なるので極値をもたない。したがって求める範囲は $$a<-2$$ である。