1聖マリアンナ医科大学 2024年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) 数学の合計は }6\cdot7=42\text{ であり、既知の5人の合計は }8+8+6+8+10=40\text{ だから、Dは }2\text{ 点。偏差は }1,1,-1,-5,1,3\text{ なので、分散は}\;\frac{1+1+1+25+1+9}{6}=\frac{19}{3}.\text{ 物理の平均からの偏差は }0,2,-1,-1,-1,1\text{。偏差積和は }0+2+1+5-1+3=10\text{、偏差平方和は数学 }38\text{、物理 }8\text{ だから、相関係数は}\;\frac{10}{\sqrt{38\cdot8}}=\frac{5\sqrt{19}}{38}.\quad \text{(2) 解と係数の関係から }\alpha+\beta+\gamma=0.\text{ また }q=10\sqrt[3]2\text{ とおくと、}\;(q-\alpha)(q-\beta)(q-\gamma)=q^3+\sqrt[3]4\,q+4=2000+20+4=2024.\quad \text{(3) }(x-a)^2\text{ が割り切るので }f(x)=(x-a)^2(x-c)\text{ と書ける。}t=3-a,\ s=3-c\text{ とおけば、}\;t^2s=3,\quad 2ts+t^2=1.\text{ 前式から }s=3/t^2\text{ なので }t^3-t+6=0\text{。これは }(t+2)(t^2-2t+3)=0\text{ と因数分解できる。}t^2-2t+3=(t-1)^2+2>0\text{ より }t=-2\text{、従って }a=5.$$