4聖マリアンナ医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1) $4n+1$ を小さい順に並べると $5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,\ldots$。この中の素数は順に $5,13,17,29,37,\ldots$ で5番目は $37$、合成数は $9,21,25,33,45,\ldots$ で5番目は $45$。　 (2) $p_k=a(bm+1)+1=abm+a+1$。これが $b(am+1)=abm+b$ と等しいためには $a+1=b$ であり、これで確かに等式が成立する。　 (3) $Q=q_1=c+d+e$ とおく。$c,d,e$ は自然数なので $Q>1$。$n=Q+1$ とすれば $$q_{Q+1}=c(Q+1)^2+d(Q+1)+e\equiv c+d+e=Q\equiv0\pmod Q.$$ また $q_n$ は $n\geq1$ で増加し、$Q+1>1$ だから $q_{Q+1}>q_1=Q>1$。従って $q_{Q+1}$ は $Q$ を真の約数にもつ合成数である。