2聖マリアンナ医科大学 2024年 数学 第2問解答・解説

正弦定理より$\displaystyle \;AD=\frac{2\sin\alpha}{\sin\theta},\quad DC=\frac{3\sin\beta}{\sin\theta}.$ 従って $\sin\alpha=\sin\beta$ のとき $AD:DC=2:3$ なので $AD=2t/5$。$2\sin\alpha=\sin\beta$ のとき $AD:DC=2:6=1:3$ なので $AD=t/4.$

$s=BD$ とおく。余弦定理を $\triangle ABD$ に使うと$\displaystyle \;\cos\theta=\frac{s^2+(t/4)^2-2^2}{2s(t/4)}=\frac{16s^2+t^2-64}{8ts}.$ $\triangle CBD$ では $DC=3t/4, BC=3$ なので$\displaystyle \;\cos(180^\circ-\theta)=\frac{s^2+(3t/4)^2-3^2}{2s(3t/4)}=\frac{16s^2+9t^2-144}{24ts}.$

$\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$ より$\;3(16s^2+t^2-64)+(16s^2+9t^2-144)=0$、従って $t^2=(84-16s^2)/3.$ また $\triangle ABD$ の余弦定理で$\displaystyle \;\cos\alpha=\frac{AB^2+BD^2-AD^2}{2AB\cdot BD}=\frac{s^2+4-t^2/16}{4s}=\frac{16s^2+27}{48s}=\frac{s}{3}+\frac9{16s}.$ 相加相乗平均より最小値は $2\sqrt{(1/3)(9/16)}=\sqrt3/2$。等号条件 $s/3=9/(16s)$ から $s=3\sqrt3/4$、このとき $t^2=(84-27)/3=19$ で $t=\sqrt{19}.$

上の相加相乗平均の等号値が，もとの三角形および $D$ の条件を実際に満たすことを確かめる。等号時 $\displaystyle s=\frac{3\sqrt3}{4}$ であり，先に得た関係式から $t^2=19$，$t>0$ より $t=\sqrt{19}$ となる。$\;1<\sqrt{19}<5$ で，さらに $2+3>\sqrt{19},\;2+\sqrt{19}>3,\;3+\sqrt{19}>2$ だから，辺長 $AB=2,BC=3,AC=\sqrt{19}$ の非退化三角形 $ABC$ が存在する。その辺 $AC$ 上で $AD=t/4,\;DC=3t/4$ とする点 $D$ をとると，両長さが正なので $D$ は線分 $AC$ の内部にある。座標を $A=(0,0),\ C=(t,0)$ とし，$\displaystyle B=(7/t,\sqrt{\frac{27}{19}})$ とおく。$t^2=19$ より，$AB^2=49/19+27/19=4$，$BC^2=(7/t-t)^2+27/19=144/19+27/19=9$ であり，$AC=t$ だから必要な辺長をもつ三角形を実現する。また $D=(t/4,0)$ なので$\;BD^2=(7/t-t/4)^2+27/19=((28-t^2)/(4t))^2+27/19=(9/(4t))^2+27/19=81/304+432/304=27/16$。よって $\displaystyle BD=\frac{3\sqrt3}{4}=s$ である。また $D$ が $AC$ の内部にあるから $\angle CDB=180^\circ-\theta$ であり，正弦定理より$\displaystyle \;\sin\alpha=\frac{AD\sin\theta}{AB}=\frac{t\sin\theta}{8},\quad\sin\beta=\frac{DC\sin(180^\circ-\theta)}{BC}=\frac{t\sin\theta}{4}$。従って $2\sin\alpha=\sin\beta$ が成立する。この構成で等号候補は元の条件のもとで達成されるので，$\cos\alpha$ の最小値は確かに $\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}$ である。