6東邦大学 2025年 数学 第6問解答・解説

まず $f^\prime(x)=3kx^2-2x=x(3kx-2)$ である。したがって $x=0$ で極大値 $1$、$\displaystyle x=\dfrac{2}{3k}$ で極小値 $\displaystyle 1-\dfrac{4}{27k^2}$ をとる。$k>0$ なので、$x\to-\infty$ で $f(x)\to-\infty$、$x\to+\infty$ で $f(x)\to+\infty$。極大値は正であるから、異なる3実根をもつための必要十分条件は極小値が負であること、すなわち $\displaystyle 1-\dfrac{4}{27k^2}<0$ である。これを $k>0$ のもとで解くと $\displaystyle 0<k<\dfrac{2}{3\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{9}$。

次に、根を $r_1<r_2<r_3$ とし、$t=kx$ とおくと $\displaystyle f(x)=\dfrac{g(t)}{k^2}$、ただし $g(t)=t^3-t^2+k^2$ である。$k>0$ だから、この置換は面積を正の一定倍率で変える。2つの部分の面積が等しいことは、符号が反対の2部分を合わせた符号付き積分が0となること、すなわち $g$ の根 $u=kr_1<v=kr_2<w=kr_3$ に対し $\displaystyle \int_u^w g(t)\,dt=0$ と同値である。

根と係数の関係より $u+v+w=1$、$uv+uw+vw=0$、$uvw=-k^2$。$q=v,\ s=u+w,\ p=uw$ とおけば、$s=1-q,\ p=-qs=-q(1-q)$、また $pq=-k^2$ より $k^2=q^2(1-q)$ である。$r_2>0$ なので $q>0$。さらに $p=uw<0$ であり $p=-q(1-q)$ から $q<1$。

$g$ の原始関数を用い、$w-u>0$ で割ると、面積条件は $$\displaystyle \frac{s(s^2-2p)}4-\frac{s^2-p}{3}+k^2=0$$ となる。上の $s,p,k^2$ を代入すると $$\displaystyle (1-q)\left(\frac{1-q^2}{4}-\frac13+q^2\right)=0$$ である。$q<1$ より $9q^2=1$、$q>0$ より $\displaystyle q=\dfrac13$。従って $\displaystyle k^2=q^2(1-q)=\dfrac{2}{27}$ であり、$\displaystyle k=\dfrac{\sqrt6}{9}$ を得る。