東邦大学 2025年数学第5問解答・解説

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1問題

東邦大学2025年度第5問

1から15までの自然数から異なる3個の自然数を選ぶ選び方のうち，選んだ3個の自然数の積が3の倍数となるような選び方は $\boxed{\text{オカキ}}$ 通りあり，選んだ3個の自然数の和が3の倍数となるような選び方は $\boxed{\text{クケコ}}$ 通りある。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

オカキ $=335,\qquad$ クケコ $=155$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

1から15までの数には、3の倍数が5個、3の倍数でない数が10個ある。選んだ3個の積が3の倍数でないのは、3の倍数でない10個から3個を選ぶ場合に限る。従って積が3の倍数となる選び方は、 $\displaystyle \binom{15}{3}-\binom{10}{3}=455-120=335$ 通りである。次に、1から15までの数は、3で割った余りが0、1、2となるものがそれぞれ5個ずつある。3個の余りの和が3の倍数となる組は、余りがすべて0、すべて1、すべて2の場合と、余りが0、1、2から1個ずつの場合である。前者は $\displaystyle 3\binom{5}{3}=30$ 通り、後者は $5\cdot5\cdot5=125$ 通りだから、和が3の倍数となる選び方は $30+125=155$ 通りである。

この問題で使う考え方

組合せ
約数・倍数

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