東邦大学 2025年数学第7問解答・解説

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1問題

東邦大学2025年度第7問

$i$ を虚数単位とする。複素数平面において，方程式 $|z+1+3i|=|z-7-3i|$ を満たす点 $z$ の全体を $C_1$ ，方程式 $|z-3i|=|3z-i|$ を満たす点 $z$ の全体を $C_2$ とする。複素数 $z$ が $C_1$ 上を動くとき， $|z|$ の最小値は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウ}}}$ である。複素数 $z_1,z_2$ がそれぞれ $C_1,C_2$ 上を動くとき， $|z_1-z_2|$ の最小値は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

$z=x+iy$ （ $x,y\text{ は実数}$ ）とおく。まず $C_1$ の条件を2乗して展開すると $(x+1)^2+(y+3)^2=(x-7)^2+(y-3)^2$ となり、整理して $4x+3y=12$ を得る。この直線上で $12=4x+3y\leq\sqrt{4^2+3^2}\sqrt{x^2+y^2}=5|z|$ だから $|z|\geq12/5$ 。等号は $(x,y)=(48/25,36/25)$ で成り立つので、最小値は $12/5$ である。　次に $C_2$ については $x^2+(y-3)^2=9x^2+(3y-1)^2$ を整理して $x^2+y^2=1$ を得る。よって $C_2$ は原点中心、半径1の円である。点 $P,Q$ をそれぞれ $C_1,C_2$ 上にとると、三角不等式より $\displaystyle |P-Q|\geq\bigl||P|-|Q|\bigr|\geq\frac{12}{5}-1=\frac75.$ $C_1$ 上で原点に最も近い点は $P=(48/25,36/25)$ であり、 $Q=(4/5,3/5)$ は $C_2$ 上にある。この2点は原点から同じ向きにあり、 $|P-Q|=7/5$ となる。従って $|z_1-z_2|$ の最小値は $7/5$ である。

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