東邦大学 2025年数学第1問解答・解説

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1問題

東邦大学2025年度第1問

数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ について，第1項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=5n(n-12)$ で与えられる。 $S_n=2025$ となる $n$ の値は $n=\boxed{\text{アイ}}$ であり， $a_n=1925$ となる $n$ の値は $n=\boxed{\text{ウエオ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

部分和の方程式を二次方程式として解き、一般項は部分和の差から求めた。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$(1)\space{}S_n=2025\Longrightarrow n=27$
$(2)\space{}a_n=1925\Longrightarrow n=199$

4解答

解答を見る途中式つきの解答

(1)　 $5n(n-12)=2025$ より $n^2-12n-405=0$ 。これを解くと $(n-27)(n+15)=0$ だから $n=27,-15$ 。数列の項番号は正の整数なので $n=27$ 。 (2)　 $n\ge2$ について $a_n=S_n-S_{n-1}$ である。 $S_{n-1}=5(n-1)(n-13),\qquad a_n=5n(n-12)-5(n-1)(n-13)=10n-65.$ よって $10n-65=1925$ から $n=199$ 。

この問題で使う考え方

総和記号と数列の和
二次方程式とグラフ

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