3近畿大学 2007年 数学 第3問解答・解説

$\displaystyle P(x)=\dfrac16x^2+\dfrac12x-\dfrac23$ とおく。条件は $S_n=P(a_n)$ である。

(1) $n=1$ のとき $$a_1=P(a_1)\quad\text{より}\quad a_1^2-3a_1-4=0 \quad\text{より}\quad (a_1-4)(a_1+1)=0.$$ $a_1>0$ より $a_1=4$。また $S_2=a_1+a_2=P(a_2)$ なので $$a_2^2-3a_2-28=0\quad\text{より}\quad (a_2-7)(a_2+4)=0.$$ $a_2>0$ より $a_2=7$。

(2) $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ を用いると $$\displaystyle a_{n+1}=P(a_{n+1})-P(a_n) =\frac{(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n+3)}6.$$ 整理して $$0=(a_{n+1}+a_n)(a_{n+1}-a_n-3).$$ $a_{n+1},a_n>0$ だから $a_{n+1}-a_n=3$。よって $$a_n=a_1+3(n-1)=3n+1.$$

(3) これを $T_n$ に代入すると $$\displaystyle \frac{3}{a_ka_{k+1}}=\frac{3}{(3k+1)(3k+4)} =\frac1{3k+1}-\frac1{3k+4}.$$ したがって和をとると途中の項が打ち消し合い $$\displaystyle T_n=\sum\limits _{k=1}^n\left(\frac1{3k+1}-\frac1{3k+4}\right) =\frac14-\frac1{3n+4}.$$

(4) $n\ge1$ より $3n+4\ge7$ なので $$\displaystyle T_n=\frac14-\frac1{3n+4}\ge\frac14-\frac17=\frac3{28}.$$ また $1/(3n+4)>0$ より $T_n<1/4$。よって $$\displaystyle \boxed{\frac3{28}\le T_n<\frac14}.$$