IV日本大学 2025年 数学 第IV問解答・解説

第4問

$u=2^t$とおくと$t>0$より$u>1$であり、$C_1,C_2$の$x=t$における縦の距離は $$AB=|u^2-2u|=9999.$$

(1) $1<u<2$なら$|u^2-2u|=1-(u-1)^2<1$だから不適。$u\ge2$では$u^2-2u$は増加し、方程式は $$u^2-2u=9999\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad(u-1)^2=10000.$$ $u\ge2$に合う解は$u=101$だけである。従って$2^t=101$。

(2) 2曲線の交点は$2^{x+1}=2^{2x}$より$x=1$である。$x>1$では$C_2$が$C_1$より上にあり、$t=\log_2 101$は$2^6=64<101<128=2^7$から$6<t<7$。したがって図形$D$に含まれる格子点の整数$x$座標は $$1\le p\le6.$$

(3) 各整数$p=1,2,\dots,6$について、境界を含めて整数$q$は $$2^{p+1}\le q\le 2^{2p}$$ を満たす。その個数は$2^{2p}-2^{p+1}+1$であり、$p=1$の交点もこの式で1個と数えられる。よって総数は $$\displaystyle \begin{aligned} \sum\limits _{p=1}^{6}(2^{2p}-2^{p+1}+1) &=(4+16+64+256+1024+4096)\\ &\quad -(4+8+16+32+64+128)+6\\ &=5460-252+6=5214. \end{aligned}$$ $$\boxed{(1)\ 101,\qquad (2)\ 1\le p\le6,\qquad (3)\ 5214}$$ 検算：最小の$p=1$では上下の曲線が交わって$q=4$の1点だけであり、式は$4-4+1=1$を与える。各$p$で上端・下端を含む個数は差に1を加えるため、総数5214は境界を含む数え上げと整合する。