III日本大学 2025年 数学 第III問解答・解説

第3問

(1) $\boldsymbol a=\overrightarrow{OA}$、$\boldsymbol b=\overrightarrow{OB}$とおくと $$|\boldsymbol a|^2=9,\quad |\boldsymbol b|^2=4,\quad \boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=3.$$ また $$|\boldsymbol b-\boldsymbol a|^2=4+9-2\cdot3=7>0.$$ $H$は辺$AB$上にあり、$AH:HB=t:(1-t)$より $\overrightarrow{OH}=(1-t)\boldsymbol a+t\boldsymbol b$である。$OH\perp AB$だから $$0=\overrightarrow{OH}\cdot(\boldsymbol b-\boldsymbol a) =(1-t)(3-9)+t(4-3)=-6+7t.$$ よって$\displaystyle t=\dfrac67$。これは$0<t<1$を満たすので、垂足は辺$AB$上にある。

(2) $\overrightarrow{OP}=\alpha\boldsymbol a+\beta\boldsymbol b$とする。三角形は $$|\boldsymbol a|^2|\boldsymbol b|^2-(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b)^2=36-9=27>0$$ より退化しておらず、$\boldsymbol a,\boldsymbol b$は一次独立である。$P$は$A$からの高さ上にあるので$PA\perp OB$、また$B$からの高さ上にあるので$PB\perp OA$である。従って $$(\overrightarrow{OP}-\boldsymbol a)\cdot\boldsymbol b=0 \quad\text{より}\quad 3\alpha+4\beta=3,$$ $$(\overrightarrow{OP}-\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol a=0 \quad\text{より}\quad 9\alpha+3\beta=3.$$ 第1式を3倍して第2式との差をとると$9\beta=6$、すなわち$\beta=2/3$。これを第1式に代入して$\alpha=1/9$を得る。 $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{OP}=\frac19\overrightarrow{OA}+\frac23\overrightarrow{OB}}$$ 検算：$P-A$と$OB$の内積は$3/9+8/3-3=0$、$P-B$と$OA$の内積は$1-3+2=0$で、2本の高さの条件をともに満たす。